INTEGRATION DES FONCTIONS RATIONNELLES

X = /"*, le nombre entier D étant choisi de façon que les produits Da, Da', Da", . . . soient entiers.

A ce dernier exemple on peut rattacher une catégorie de différentielles de la forme

x"^{ax^ -\- b)P dXj

appelées différentielles binômes. Supposons les trois exposants m, n, p commensurables ; si p est entier, d'après ce qu'on vient de voir à l'instant, on peut rendre cette différentielle rationnelle par un changement de variable tel que x = t^. Pour trouver de nouveaux cas d'intégrabilité, essa}'ons du changement de

variable

ax'* -h b = t\

il vient

\ a / na \ a /

rx'"{ax"-hb)Pdx= — I ip( ~ j dl\

la nouvelle intégrale est de même forme que la première, et l'exposant qui remplace /> est ici i; on pourra donc achever

l'intégration si est un nombre entier. ^

D'autre part, l'intégrale peut s'écrire

x'n-i-np(^a -+- bx-^)P dx,

et l'on voit qu'on a un nouveau cas d'intégrabilité lorsque ' = \- p est un nombre entier. En résumé, on

peut effectuer l'intégration lorsque V un des trois nombres /?,

/M -4-1 m -+- 1 . M ^' n ^ ' *i 1 ^ n- . ' \- p est entier. Les trois cas sont les seuls ou l mle-

grale s'exprime au moyen d'un nombre fini de symboles élémentaires lorsque m, n^p sont commensurables.

Pour effectuer l'intégration lorsqu"'elle est possible, il est commode de ramener d'abord l'intégrale à une forme plus simple où ne figurent que deux exposants. Posons pour cela aj;" ^^ bt\ il

vient

x"'{ax'^-hb)Pdx = — I j jt" {\-\-t)Pdt.

En Faisant abstraction du facteur constant et posant

on est conduit à Tinté^^^ale

jtt{\ H- t)Pdf,

et les cas d'intégrabilité sont les suivants : V un des trois nombres Pi ^i P ~^y ^^^^ ^^''^ "'^ nombre entier.

Si p est entier et y = -, on posera ^=r //*; si y est entier et

p =z ~f ou posera de même 14-^= //*. Enfin, s\ p -\- q est entier, on peut écrire Tintëgrale

et l'on n'a qu'à poser i 4- f = ///*, en supposant/) r= -, pour faire disparaître l'irrationalité.

Prenons par exemple l'inléj^rale

frV

i-hx^ dx\

on a m =z I , n = 3, /> = ^j \- p z= i . On est donc dans uq

cas d'intégrabilité. En posant d'abord .r'= t^ on est conduit à la nouvelle intégrate

et il suffira du nouveau changement de variable 1 4- / = ///', pour faire disparaître le radical.