II. - INTÉGRALES ELLIPTIQUES ET ULTRA-ELLIPTIQUES

110. Réduction des intégrales. — Soit P(^) un polj^nome entier de degré />, premier avec sa dérivf^e. Une intégrale

Jr[x, ^l\x)]dx,

oùRdésigne une fonction rationnelle de j: et du radical^ = ^P{x), ne peut pas en général s'euprimer au moyen des fondions élémentaires, lorsque le degré de P(^) est supérieur à 2. Ces intégrales, qui sont des cas particuliers des intégrales abéliennes les plus générales, se décomposent en une partie algébrique et logarithmique, et en un certain nombre d^intégrales spéciales qui constituent des transcendantes nouvelles qu'on ne peut exprimer au moyen d'un nombre lini de symboles élémentaires. Nous allons exposer cette réduction.

La fonction rationnelle K(x,j) est le quotient de deux polynômes entiers en x eten jk; en remplaçant une puissance paire dey, telle que j^^^, par [P(^)]^, et une puissance impaire, telle que j^^^"*"*, par j^[P(;r)]^, on voit qu'on peut supposer les deux termes de la fraction du premier degré cny,

A, B, C, D étant des polynômes entiers en x. En multipliant les deux termes par C — Dy et remplaçant de nouveau j^^ par P(^), on peut encore écrire

et l'intégrale considérée se partage en deux autres, dont l'une — j7— est l'intégrale d'une fonction rationnelle et dont la seconde

-—- dx^ qui peut aussi s écrire

^yJV{x)

M et N étant deux polynômes entiers en x^ doit seule nous

256 CHAPITRB y. — INTÉGRALES INDÉFINIES.

occuper. La fraction rationnelle j^ peut être décomposée en une partie entière E(x) et en une somme de termes fractionnaires IM T^, . Ai Aj An

chaque polynôme X/ étant premier avec sa dérivée. On n'a donc à considérer que deux sortes d'intégrales

r X'" dx 't C ^ ^^

Les intégrales Y m s'expriment toutes au moyen des p — i premières Yq, y,, . . . , Y^2, et de quantités algébriques, si R(^) est de degré p.

Soit, en effet,

V{x)— UoxP-haixP-^ -t-

On a

il r . \ / X^\*' ( X \

-v-(x"»v^P(a:;) = mj?'«-«v/P(^)H ^ -

"^ 2 \JV{X)

le numérateur est un polynôme de degré m +/? — i dont le terme de degré le plus élevé est (2 m -^ p^a^x^^P'^ , Il vient, en intégrant les deux membres de l'égalité précédente,

ixm v/P(j7) = (2//1 -h/?)ao \m-^p-\ H- . . .

les termes non écrits contenant les intégrales Y d'indice inférieur à m-\'p — I. Faisons successivement dans cette formule m = o, I, 2, ..., nous pourrons calculer de proche en proche Y^i, Y^, . ., au moyen d'un terme algébrique et des p — I intégrales Yq, Y,, . . . , Yy,2.

Relativement aux intégrales de la seconde forme, il y a deux cas à distinguer, suivant que X est premier ou non avec P(^).

1" «Si X est premier avec P(^), l* intégrale Tjn se ramène à un terme algébrique, à une somme d'intégrales Yki et à une nouvelle intégrale

Bdx

X)/V(x) OÙ B est un polynôme d'un degré inférieure celui de X.