INTÉGRALES ELLIPTIQUES ET ULTRA-ELLIPTIQUES. l5y

Puisque X est premier avec sa dérivée X' et avec P(-p). X" est premier avec le produit PX'. On peut donc trouver deux poljnoraes )^ et jx tels que Ton ail identiquement XX" -h [jlX'P = A et rinlégrale se partage en deux autres

J \nyj?(x) ' J yj?{x) J X« '^•

La première partie est une somme d^intégrales Y; si /i;>i, on peut intégrer par parties la seconde intégrale en posant

ce

qui donne

^\'dx X«

•2JXP-^ 2X«-' 1/

dx

La nouvelle intégrale est de même forme que la première, sauf que Texposant de X est diminué d'une unité. En continuant la réduction autant de fois que possible, c'est-à-dire tant que Texposant de X est supérieur à un, on arrivera à un résultat de la forme

/A ^a: rBdx rCdx Dv^P

xV^ J xVp '" j Vp ^ ^" ^'

B, C, D étant trois polynômes, et Ton peut toujours supposer le premier B de degré inférieur à celui de X.

2° Supposons que X et P aient un diviseur commun D, de façon que X = YD, P r— SD, les polynômes D, S, Y étant premiers entre eux deux a deux. On peut trouver deux poljnomes X, jjL, tels que A = XD" -f- jjl Y" et, par suite, on peut écrire

/Xdx ^ r Xdx r iidx

La première intégrale est de la forme de celles dont on vient de s'occuper; quant à l'intégrale

ixdx

OÙ D est un diviseur de P, elle se ramène à un terme algébrique et aux intégrales Y.

En effet, D" étant premier avec le produit D'S, soient a, et jx, deux polynômes tels que Ton ait X| D" -h ;jL| D'S =-- [x: Tintégrale considérée peut s'écrire

J D'/P J \/P J I^VP

Écrivons la seconde de ces deux intégrales, en remplaçant P par SD,

|ji, v/S - — j dx,

et intégrons par parties en posant

u — jjLj /s, V =

1 vient