II. — INTÉGRALES ELLIPTIQUES ET ULTRA-ELLIPTIQUES. aSy

Si l'on connaît les racines de Téquation X = o, on peut décom-

poser chacune des fractions rationnelles -^ en une somme de fractions simples de la forme

A Bx-^C

A, B, C étant des constantes, de sorte qu'on est conduit à deux nouveaux tjpes d'intégrales

/dx r (Bx-hC)djr

(x-a)/!^' J [(^a)*-h^»Jv/P(^)'

qu'on peut ramènera un seul, le premier des deux, en convenant d'admettre pour le paramètre a des valeurs imaginaires. Les intégrales de cette forme sont appelées intégrales de troisième espèce. On appelle intégrales de première espèce les intégrales Y;„, où m

est inférieur à - — i ; les intégrales Y,;,, où m est égal ou supérieur à 7 — i, sont les intégrales de deuxième espèce. Les intégrales de première espèce possèdent une propriété caractéristique : elles conservent une valeur finie lorsque la limite supérieure de l'intégrale croît indéfiniment ou devient égale à une racine de P(:r) (n*** 89-90). Mais la distinction actuelle entre les intégrales de deuxième et de troisième espèce ne doit être acceptée qu'à titre provisoire. La véritable distinction sera faite plus tard.

Remarque, — Nous n'avons rien supposé jusqu'ici sur le degré /> du poljnome P(x). Si ce polynôme est de degré impair, on peut toujours augmenter le degré d'une unité. Soit en effet P(x) un polynôme de degré îi^ — i

P{x)^ Xox^f-^ -+- A, 3727-»-^... -H Aj^,; posons X =^ a -^ — > a n'étant pas racine de P(-c). il vient

^K\y) désignant un polynôme de degré iq. On a par suite

26o CHAPITRE V. — INTÉGRALES INDEFINIES.

et toute intégrale qui contient rationnellement x et >J^{^x) se change en une intégrale d'une fonction rationnelle de y et

de v/p;cr)-

Inversement, si l'on a sous le radical un polynôme P(^) de degré pair 2^, on peut abaisser d'une unité le degré de ce polynôme, pour\?u qu!on en connaisse une racine. Soit en effet a

une racine de l'équation P(a:) = o ; en posante: = a H — » il vient

P(x)=P'(a)i+...+ P^>-L = ^;f, '" Pi(^) étant de degré 2q — i, et on a par suite

La nouvelle intégrale ne contiendra d'autre irrationalité que y/Pi(^) sous le signe d'intégration.

lli. Cas d'intégration algébrique. — Étant donnée une intégrale de la forme

R[xy \/~P(x)]dx,

nous venons de voir qu'on peut toujours, par des calculs élémentaires, la ramener à Tintégrale d'une fraction rationnelle, à un terme algébrique de

la forme — ^^-j-^ — - et à une somme d'intégrales de première, de deuxième Là

et de troisième espèce. Gomme on peut aussi trouver, par des opérations

élémentaires, la partie rationnelle de l'intégrale d'une fraction rationnelle,

on voit qu'on peut toujours mettre l'intégrale proposée sous la forme

F étant une fonction rationnelle de x et de /P(a7), et T étant égal à une

somme d'intégrales des trois espèces et d'une intégrale l ~ dx, où X est

premier avec sa dérivée et où Xi est d'un degré inférieur à celui de X. Liouville a démontré que, si l'intégrale proposée est algébrique, elle est égale à F[x, /P(^)], de sorte qu'on doit avoir identiquement

r[x, v/P{^)]= ^ iF[^, /PTÏ)]j, et par suite T = o.

On peut donc reconnaître, par des multiplications et divisions de