II. — INTÉGRALES ELLIPTIQUES ET ULTRA-ELLIPTIQUES. l6x

polynômes, si l'intégrale proposée est algébrique et trouver, dans ce cas, la valeur de cette intégrale.

lis. Intégrales elliptiques. — Lorsque le polynôme P(^) est du second degré, la méthode de réduction générale qui vient d'être exposée permet de ramener l'intégration d'une fonction rationnelle de X et de \^P{x) au calcul des intégrales

dx C à.x

/dx r dx

que l'on a appris à calculer directement (n° iOo).

Le cas le plus simple après celui-là est celui des intégrales elliptiques, où P(x) est du troisième ou du quatrième degré; les deux cas se ramènent d'ailleurs l'un à l'autre, comme nous venons de le voir. Soit donc P(^) un polynôme du quatrième degré, n'ayant que des facteurs linéaires simples, et à coefficients réels; nous allons d'abord montrer qu'on peut toujours, par une substitution linéaire réelle, le ramener à un polynôme n'ayant que des termes de degré pair.

Soient a, 6, c, d les quatre racines de P(^) = o. Il existe une relation d'involution

qui est vérifiée par x^ = a, x" = 6 et par x' = c, x'' = d. On a, pour déterminer les coefficients L, M, N, les deux relations

La6-i-M(a-h6)-4- \ — o,

Lcc/ -1- M(c -+- û?) -4- N = o,

et l'on voit qu'on peut prendre L = a -h b — c — d, M — cd — aô, N=ab{c-^d) — cd{a-hb).

Appelons a et ^ les points doubles de l'involulion précédente, c'esl-à-dire les racines de l'équation

la condition de réalité de ces racines

(cd — ahy — (a H- 6 — r — d)[ab{c -h d) — cd{a -h 6)] > o

aôa CHAPITRE V. — INTÉGRALES INDÉFINIES.

peut s'écrire, comme le prouve un calcul facile,

On peut toujours s'arranger de façon que celle condition soit vérifiée. Si les quatre racines a, 6, c, d sont réelles, il suffira de prendre pour a et b les deux plus grandes; les quatre fadeurs de (8) sont alors positifs. Si Téquation P(x)= o a deux racines réelles seulement, on prendra pour a et b ces deux racines réelles et pour c et rf les deux racines imaginaires conjuguées; les facteurs a — c et a — rfsont alors des imaginaires conjuguées, ainsi que b — c et b — rf. Enfin, si les quatre racines sont imaginaires, on prendra pour a el b deux racines conjuguées, et pour c el d les deux autres racines conjuguées. Les quatre facteurs de (8) soni encore conjugués deux à deux. D'ailleurs les valeurs correspondantes de L, M, W sont réelles.

Cela posé, observons que la relation (^) peut s'écrire

SI nous posons - ^ = J » O" ^ ^== » " vient

P, (y) étant un nouveau polynôme du quatrième degré à coefficients réels dont les racines sont

D'après la formule (9), ces quatre racines vérifient par couples la relation j^' -4- j^''= o; le polynôme P, (y) n'a donc que des termes de degré pair.

Si les quatre racines ^, b, e,rfvérifient la relation a -\- b=^ c -^ d, on a L = o, et l'un des points doubles de l'involution s'en va à

N l'infini. En posant a= — - » l'équation (7) peut s'écrire

et il suffira de poser ^ = a-|-jK, pour obtenir un polynôme n'ayant que des termes de degré pair.