II. — INTÉGRALES ELLIPTIQUES ET ULTRA-BLLIPTIQUES. l
Nous pouvons donc supposer P(-r) ramené à la forme canonique
P(x)= AoT* - A,^>^- A,;
loule intégrale elliplique se ramène alors, abstraclion faile d'un terme algébrique et de l'intégrale dune fonction rationnelle, aux
intégrales
r dx r X dx r x^ dx
J /AoX»-i-A|a:2 — A, ,/ /Aq^:^ — Ai J7«-r- A» J v^Aq x* -+- Ai ar' -i- Aj
el à des intégrales de la forme
dx (a- — rt)v^Vo^*-+- Aiar«-f- Aj L'intégrale
dx
est Tinlégrale elliptique de première espèce; si Ton considère inversement x comme fonction de w, on a une fonction elliptique. La seconde intégrale se ramène à une intégrale élémentaire CD posant x'^ ^- u, La troisième intégrale
/x^dx y/Aoar* -f- Ai a?* -h Aj
est Tintégrale de seconde espèce de Legendre. Enfin on peut écrire
r dx /* ^^^ r ^^
l'intégrale
est 1 intégrale de troisième espèce de Legendre.
Les intégrales elliptiques ont été appelées ainsi, parce qu'on
'es a d'abord rencontrées dans le problème do la rectification de
'^'ïipse. Soient
X — acos^y ^• = 6sincp
*^s coordonnées d'un point d'une ellipse; on a
ds' — dx' -f- dy^ - (a^sin*^ - 6* cos'cp) (/ï-^
a64 CHAPITRE V. — INTÉGRALES INDÉFINIES.
ce qu'on peut encore écrire, en posant a^ — b^^^e^a'^^
ds -=: ayj\— e* cos' «p rf«p,
et l'intégrale qui représente un arc d'ellipse devient, en posant coscp = /,
dt^ a I - — = dt;
un arc d'ellipse s'exprime, comme l'on voit, par la somme d'une intégrale de première espèce et d'une intégrale de seconde espèce.
Prenons encore la lemniscate représentée par les équations
on trouve, en faisant le calcul, que l'on a
ds^ =-- dx^ -h dy^ = -r^^ dt^.
L'arc de la lemniscate s'exprime donc par une intégrale elliptique de première espèce (*).
113. Intégrales pseudo-elliptiques. — H arrive quelquefois qu'une inté-
jjrale / F[ar, ^V{x)\dx^ où P(a7) est un polynôme du troisième ou du
quatrième degré, peut s'exprimer au moyen d'une fonction algébrique et d'une somme de logarithmes de fonctions algébriques, en nombre fini; de pareilles intégrales sont dites psettdo-elliptiques. Voici un cas assez étendu où il en est ainsi : Soit
(lo) Lx'x" -^-^Xix'-^x')-^^ ~ o
une relation d'immolation faisant correspondre deux à deu.r les quatre racines de Véquation du quatrième degré P(a7) — o; si la fonction rationnelle f{x) est telle que Von ait identiquement
... , , /• f(x)dx , ,,. .
l intégrale 1 '-^—i^^r est pseudo-elliptique.
Soient a, ^ les points doubles de l'involution; la relation (ki) peut
(') Celte propriété appartient à toute une classe de courbes découvertes par Serret {Cours de Calcul différentiel et inte'gral, t. II, p. a6^ ).
