III. — NOTATION DIFFKRBNTIËLLB

de sorte que V expression de la différentielle totale du premier ordre d^ une fonction composée est la même que si les fonclions intermédiaires étaient des variables indépendantes. Nous voyons se manifesler ici un des principaux avantages de la nota-* lion difTérentielle; la relation (9) ne dépend ni du nombre, ni du choix des variables indépendantes, et elle équivaut à autant de relations distinctes qu'il y a de variables indépendantes.

Pour calculer <f'(i), nous appliquerons la règle qui vient d'être établie à dtùj en observant que dans le second membre de la formule (9), il entre six fonctions intermédiaires u^ v^ Wy du, dv^ div. On a donc

0*0) = -— — du^ -+- - — V- au dv -f- - — ,— du dw -h —- d^u

ou* du ov du ôw du

du dv H — r— - dç* -^ -r — ^,— dv dw -^ ^— d^v

du dv dç* dv dw dv

d^F , , à^F . , ^''F , ^ dF ,,

du dw -h -7 — r— dv dw -\- ——- dw* -+- -7— a* (v,

du dw dv dw ' dw* dw

OU, en réduisant et employant la même notation symbolique que plus haut,

^ fôF . dF , dF . \(«) dF ^ dF ., dF .,

ct*iii=z{^-du-\-—~dv-\--~- dw ) -^ - d*u -\- — d*v ~\~ -— d*w, \du dv dw I du dv dw

La formule est plus compliquée que dans le cas où w, ç^ w sont les variables indépendantes, à cause des termes en d^u, d^v, d^w, qui disparaissent lorsque u, v^ w sont les variables indépendantes. Pour avoir c^'co, on appliquera de nouveau la même règle à rf^co, en observant que rf^w dépend de neuf fonctions intermédiaires w, (>, iv, du^ dVy diVf d^Uy rf^r, d^iv^ et ainsi de suite. L'expression générale de ces différentielles devient de plus en plus compliquée; d^'io est une fonction entière de du, dv^ dw, d^u, . . . , d"u, d'^v, d"iVj et les termes qui contiennent rf"w, rf'^v^, d" w sont égaux à

^F ^ dF , dF ^

-r— a 'ï M -^ -— rf " (^ -h T— a « w. du dv dw

Si dans d"<ù on remplace w, ç, iv, du, dv, dw, . . . par leurs expressions au moyen des variables indépendantes, û?"o> devient an polynôme entier en dx, dy, dz, , . • dont les coefficients sont égaux (i;o/r la remarque du n*' 15) aux dérivées partielles d'ordre n

de (0, multipliées par certains facteurs numériques. On a ainsi du même coup toutes les dérivées partielles d'ordre n.

Supposons, par exemple, qu'on veuille calculer les dérivées partielles du premier et du second ordre de la fonction composée co=/(w), où u est une fonction de deux variables indépendantes, tt = ?(^jy)- Si l'on calcule ces dérivées séparément, on a d'abord les deux dérivées partielles du premier ordre

(lo)

et, en prenant les dérivées de ces deux équations par rapport à x et par rapport à y, on a trois relations distinctes seulement qui donnent les dérivées du second ordre

/ <^2 tt) d' ti) / (?M \ * dtai d^ u

I dx^ ~~ du> \àxl du âx*^ ) ()*io â^ta du du âtù d^u

àdi àtù du

dM dtû du

dx ~ du dx^

dy ~ du dy

dxdy du^ dx dy du dx dy d^\ù ^ d^d) /àu\* dtû d^u ^ 'dyi'^ ~dïi^\dy) '^ dû 'dy^'

la seconde des relations (i i) s'obtient en difTérentiant par rapport à y la première des équations (lo), ou la seconde par rapport à x. Avec les différentielles totales, ces cinq relations (lo) et (ii) peuvent être remplacées par deux seulement

Uco = ^ du,

(d^iii — __. du^ -r- -— rf* w ; du^ du '

si l'on remplace dans ces deux formules du par -r- dx -t- -t~ dy^

d^u par ^ - dx^ -h 2 dx dy + —^ dy^^y les coefficients de dx

et dy dans la première donneront les dérivées partielles du premier ordre de o), et les coefficients de rfx^, idxdy^ dy^ dans la deuxième donneront de même les dérivées partielles du second ordre de co.

17. Différentielles d'un produit. — La formule qui donne la différentielle totale d'ordre n d'une fonction composée se sim-