II. — INTÉGRALBS BLLIPTIQUBS BT l'LTRA- ELLIPTIQUES. iCy't

s'écrire, comme on Ta déjà remarqué,

Cela étant, faisons dans l'intégrale la substitution ^ ^ y'' »ï vient

dx —- ~ "^ » P ( cr ) — — . »

fix r a — 3 > ^r ^P(V) V^xKy]

et par suite

Pi(^) étant un polynôme du quatrième degré qui ne renferme que le«« puissances paires de^ (n* 112). Quant à la fraction rationnelle /(t), elle se change en une fraction rationnelle ç(j'), telle que \\m ail identiquement ^(y) H- ?(— ^ > ~ o; car, si deux valeurs de x sont liées par la relation (iv), les valeurs correspondantes y\ y àe y vérifient la relation y'-try' ^ O. On voit donc que la fonction ^(y) est de la forme y^iy^)-, ^ étant une fonction rationnelle de y^\ l'intégrale proposée devient par conséquent

y^iy^)dy

V^Ao7*-i- A,^*-r- A,

et il suffit de poser/- — z pour être ramené à une intégrale élémentaire. La proposition est donc établie, et Ton a de plus le moyen d'effectuer la réduction.

Le théorème est encore vrai, si le polynôme P(ar) est du troisième ^'cgré, pourvu qu'on regarde une des racines de ce polynôme comme infinie. La démonstration est tout à fait semblable à la précédente.

Par exemple, si l'équation P(a-) — o est une équation réciproque, une des relations d'involution qui permutent les racines deux à deux est x' x' = i. Par suite, si une fonction rationnelle /fa:') est telle que l'on ait identique-

ment/( J-) -h/( - ) — o, l'intégrale / — - =^ est pseudo-elliptique, et il \^J J /P(:r)

suffit de poser successivement —y^ puis j^'- 5, pour être ramené

à une intégrale élémentaire. Supposons encore que P(ar) soit un polynôme du troisième degré

nous poserons a — «, 6 — o, r - i , rf — -^ •

Il existe trois relati

lution permutant ces racines deux à deux

si donc une fonction rationnelle /(^r) satisfait à l'une des relations

l'intégrale

f{x)dx

r__ f{x)dx

est pseudo-elliptique. De celles-là on peut en déduire de nouvelles. Par exemple, en posant x = -s*, l'intégrale précédente devient

ifiz^ydz

et l'on en conclut que cette nouvelle intégrale est aussi pseudo-elliptique, si f{z^) satisfait à l'une des relations

le premier cas avait déjà été remarqué par Euler (*).