III. - INTÉGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES
114. Intégration des fonctions rationnelles de sin^r et de cos^r. — On sait que smx et cos^ s'expriment rationnellement au
moyen de lang =z t et ce changement de variable permet de
ramener le calcul d'une intéj^rale de la forme
/ R(sin:r, cos^)^x,
à rintégration d'une fonction rationnelle de t. On a en effet
J idt . it \ — t'-
a? — 2 arc tanff/, rz :r = -> siii^= -» cosa: — - ->
( ■) Voir le Cours lithographie de M. Herniiie, \'' édition, pages aS-aS.
m. — INTÉGRATIOM DES FONCTIONS TRANSCENDANTKS. ll'yy
et rinlégrale proposée devient
^(l) désignant une lonction rationnelle. On a, par exemple,
r dx rdt , , J sinx ./ / *'
et par suite
L'intégrale / se ramène à la précédente en posant x --^ - -y-,
ce qui donne
La méthode précédente a l'avantage d'être générale, mais on peut souvent trouver des changements de variable conduisant plus rapidement au but. Ainsi, lorsque la fonction /(sinor, cosx) admet la période ?:, elle est égale à une fonction rationnelle de tangx, F( tangx), et, en prenant tangx = t pour nouvelle variable, il vient
j b(tangx)^x - / -^i, '
Par exemple, soit à calculer l'intégrale indéfinie
dx
coSvT T- G siii'x H- D '
A, B, C, D étant des constantes quelconques. La fonction sous le signe d'intégration admet bien la période ?:; on a, en posant tanga: ~ /,
cos'j: r= ^, sinarcosj?— , sin^j^i^
et l'intégrale proposée devient
J A ^ B/-r- C/* -~D(i -ï^/i/ La forme de l'intégrale dépendra de la nature des racines du
•à6S chapitre V. — INTÉGRALES INDÉFINIES.
dénominateur. Si l'on suppose nuls trois des coeffîcienls, on trouve les formules
/dx C d^ y , .
--r— = langa", / -. = logCtanga?),
cos*ar ° ' J sinarcosiF ^ ^ ^
r dx
Lorsque la fonction à intégrer est de la forme R( sinj:)cosx, ou de la forme R(cosj;)sin^, le changement de variable est tout indiqué; on posera sin^ =r t dans le premier cas et coso: = t dans le second cas.
Il est quelquefois avantageux de faire un premier changement de variable pour simplifier la fonction sous le signe d'intégration, avant d'appliquer la méthode générale. Soit, par exemple^ l'inté-
grale
dx
a cosjr -J- à sin j: -+• c
a, 6, c étant trois constantes quelconques. Déterminons un nombre positif p et un angle cp par les relations
a - p coso, b = p sino, d'où l'on tire
r~i — Tï ^ • ^ p = y^a'"h6*T costp = sino — ;
s/ a* -h b'^ yja^ -H 6«
l'inlégrale proposée peut s'écrire
/dx r dy
p cos(a7 — o) -^- c ~ J p cos/ -t- c'
en posant x — ^ "^y- Si l'on applique maintenant la méthode générale en posant tang— =^- t, l'intégrale devient
idi
le calcul s'achève sans difficulté et l'on obtient deux formes différentes pour l'intégrale, suivant le signe de
pî — c' — a« -h Z>2 — c'.
