III. — - INTÉGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

On ramène à la prëcëdente l'intégrale

m cosT -4- n sin j'-hp , dx.

coso: T- b sinx -H c

Soit, pour abréger, u ~a cosx H- b sinx -h r; déterminons trois constantes X, a, v, de façon que Ton ait identiquement

^ du m cosx -*- n sin x -h/? — A a h- [a -. r- v.

Nous avons pour cela à résoudre les trois équations

/n = Xa-+-jxô, n~\b — fjia, /? — Xc-i-v,

dont les deux premières donnent X et pi; ces constantes étant choisies de celte façon, l'intégrale proposée peut s'écrire

. du

djr , . , r dx

u J a cosj: -h 6 sinj? ■

Exemple, -- Soit à calculer rintégraledéfînie dx

r dx . , ^

J^ I -h e cosx

Considérons d'abord l'intégrale indéfinie ; on trouve successivement Ç dx r dt 2 r du

en posant d'abord tang- = ^ puis t — ui/ ■• L'intégrale indéfinie

est donc égale à

-:i__arctang(^^l^i,„g^).

Lorsque x' varie de o à ic, I / tang'- croit de o à -f- oc, et l'arc tang

varie de o à -• L'intégrale définie cherchée est donc égale à

115. Formoles de réduction. — Pour certaines catégories d'intégrales, on peut appliquer aussi des formules de réduction. Par exemple, la formule qui donne la dérivée de tang""*^ peut

770 CHAPITRE V. — INTEGRALES INDEFINIES.

s'écrire

-7- (lang'»-*^:) = (n — i) fang'»-5:r(i -h tang* j-)

et Ton en déduit

1 tangua? air = 1 tang"-* a-éir.

L'exposant de tangx sous le signe d'intégration est diminué de deux unités. En continuant de la sorte, on sera ramené à l'une des deux intégrales

j dx '- X, jldiVï^xdx — — log(cosa").

Il existe une formule de réduction analogue pour les intégrales / cof^r dx^

cot^a? dx ^~ — / cot'*-*j: dx.

D'une façon plus générale, considérons l'intégrale

I sin'"xcos"x dxj

où m et n sont des nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs. Lorsque l'un de ces nombres est impair, il j a avantage à emplo^'er un des changements de variable indiqués plus haut. Si, par exemple, /i -— 2/? 4- i , on posera sino: r:^ ^ et l'on sera ramené

au calcul de l'iutégrale //"'(i — t^)Pdt,

Bornons-nous au cas où m et n sont pairs tous les deux, c'està-dire aux intégrales

ï = j 5\n^"^xco$^'*x dx.

On peut écrire cette intégrale

I = I s'in^'^-^xcos^'^xsïnx dx

et intégrer par parties, en considérant cos*"a:sinj:rfj? comme la