III. — INTEGRATION DES PONCTIONS TRANSCENDANTES

différentielle de cos^'*^' jt, ce qui donne

ICOS''*"*"'X '1 Ffl I /* ///,n 2/l-T-l in-r-ij

formule que l'on peut encore écrire

•lm,/»~ tà(m-r-n) "^ 2(//tr n) !,„»,, «•

celle formule permet de diminuer l'exposant /;?, sans changer le second exposant. Si m est négatif, on aura une formule analogue obtenue en résolvant la relation (\) par rapport à ï et rem-

plaçant m par i — /??,

„ T 5in'-»'"Tcos^'»-^»j? a(n — w h- 1 ) t

On a des formules toutes pareilles pour réduire l'exposant de

cosx.

r. T sin*'«-^-*ir cos*-"»ir \L(m~hi- n)T

(Di I = H il

En appliquant ces formules de réduction autant de fois qu'il est nécessaire, on ramènera chacun des nombres m et /i à être nul. On ne pourrait être arrêté dans le courant du calcul que si l'on arrivait à une intégrale \m,n où m -\- n ^^ o , c'est-à-dire à une des intégrales pour lesquelles on a établi une formule de réduction au début de ce paragraphe.

116. Formule de Wallis. — Il existe aussi des formules de réduction, quelle que soit la parité des exposants m et n. Proposons-nous, par exemple, de calculer l'intégrale définie

= / sin

où m est un nombre entier positif. Nous pouvons écrire, en intégrant par

272 CHAPITRE V. — INTEGRALES INDÉFINIES.

parties

/s 2E rt

ûvL'^-'^xsmx dx=^ — [cosar siD'«-*rr]*-r-(m— 1) / sin'w-'cos^art^,

ou encore, en remarquant que cosarsin'»-* a: s'annule aux deux limites,

!E \„^^{m — \) I sin'"-»a7(i — sin«ar)rf^=r(/n — i)(U,— I;„),

ce qui conduit à la formule de récurrence

En continuant de la sorte, on sera ramené soit à l'intégrale Io= -> si

m est pair, soit à l'intégrale Ii = 1, si m est impair. Prenons le premier

cas, m — 2/?; en remplaçant successivement m par a, 4s C, ... 2/? dans la

formule (i3), il vient

l2-l0, '4—^12, ..•: *''~~ip '«/»-*>

et, en multipliant membre à membre tontes ces égalités, il reste

i . 5 . . . ( 2/? — I ) ic •2 . 4 . 6 . . . 2/> -Jl

On peut déduire de là une formule curieuse due à Wallis. Il est clair que l'intégrale ïm diminue quand m augmente, car sin'»*-^*a: est plus petit que sin"»jr, et nous pouvons écrire

Ilp-M *< ïîA>< lî/^-l î

remplaçons Is/m-i? hpt hp-i P^r l^s valeurs précédentes, nous trouvons les deux nouvelles inégalités

CD posant, pour abréger,