III. — INTÉGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES

des facteurs augmeute indéfiniment. La loi de succession des facteurs de ce produit est d'ailleurs évidente.

117. Des intégrales / cos{ax 4- b) cos{a'x -i- b') . . . dx, —

G)n$idérons iin produit d^un nombre quelconque de facteurs de la forme cos(ax-i- 6), a et 6 étant des constantes, et un même fadeur pouvant figurer plusieurs fois dans le produit. La formule

cos(u-^ ç) co8(a — V') cosacosp= H

remplace un produit de deux facteurs de cette espèce par une somme de deux cosinus de fonctions linéaires de x^ et un produit de n facteurs par la somme de deux produits de (n — i) facteurs. En appliquant la même formule autant de fois qu'il est nécessaire, on arrivera à remplacer le produit considéré par une somme telle que SHcos(Aj: -{- B), dont chaque terme s'intègre immédiatement; si A n'est pas nul, on a

cos(Aar -r- B) aj? ~ -: -

et, dans le cas particulier où A -^ o, / cosBdx ~- x cosB + C. Cette transformation s'applique en particulier aux produits

cos'»a7sin'»a', que l'on peut écrire

COS'" X cos" [ x\,

lorsque m et n sont deux nombres entiers positifs; en appliquant le procédé précédent, on remplace ce produit par une somme de sinus et de cosinus de multiples de l'arc, et l'intégration est immédiate.

Soit, par exemple, à calculer l'aire de la courbe

(iMiï--

nous pouvons poser x ^= a cos' 6, y = b sin^ 9, et nous obtiendrons toute la courbe en faisant varier 0 de o à 27:.

La formule qui donne l'aire d'une courbe fermée

X = - / X dy — y i

devient ici

mais on a

f sin*6cos*eûf6;

(sin6 cos6)*= - sin'26 = 0(1 — cos46), 4 o

et l'aire cherchée a pour valeur

16 L 4~"Jo "" ~8~*

Citons encore les intégrales

/. . , /*! — cosaar , x sinaa? %\w^x dx = / dx =z h G, J a 24

/* . , , /*3sinar — sin Sa? , Scosar cos3a? ^

/ sin'a? dx ^ \ ; dx — -— -h h G,

/. ^ , /'S — 4 <îos 2 a: -t- cos 4 37 , 3a? sin2a: siD4^ /> s,n'.^ =J 8 '^^=-%--r ^ ^ï--"^'

/, /*!-+- cos 2 ar a? sin2ar ^ ç.o%^x dx = / rfa? = 1 ; h G, J 1 24'

/. /'S cosa? -f- cos3a7 , Ssina? sin3a? ^ cos'a? dx = I ; ^dx= — ; i h G, J 4 4 la '

/, /"S -f- 4 cos2a: -H cos4a7 , 3a: sin2a? sin4^ r. cos^a? dx = / -— dx = 1 -+- h C, J 8 8432'

On peut remarquer sur ces formules uue loi qui est générale.

Les intégrales F (^)= / ûti^^ x dx el ^ {x) =^ l cos^xrfx sont

périodiques et admettent la période 2n lorsque n est impair^ tandis que, si n est pair, ces intégrales augmentent d'une quantité constante positive lorsque x augmente de 2 7r. Cette propriété était évidente a priori; on a en effet

f sm^xdx-^ I sïn'^xdx,

0 ^in

in. — INTÉGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES. 276

OU encore, à cause de la périodicité de sino:, F(a?-har)= / %\n'^xdx-{- t s'\n^ x dx ~ Y {x) -h 1 sin'^xdx.

[ sin"xdx

est une quantité positive, tandis que cette intégrale est nulle, si n est impair, comme il résulte de la relation sin(xH-7c)= — sino:.

Remarque. — A cause de la grande variété de transformations auxquelles se prêtent les fonctions circulaires, il est souvent commode de les introduire pour le calcul de certaines intégrales.

/dx '- — ^5 ; si Ton y pose x = tangcp, (i-f-xi)ï

elle se change en / cos<prfcp=: sin<p -j- C, et Ton en déduit, en revenant à la variable Xj

dx X

comme on Ta déjà obtenu directement (n® 105).

H8. Les intégrales / R{x)e^^dx. — Considérons maintenant les intégrales de la forme / K{x)e*^dxj où R(:r) est une fonction

rationnelle de x. Supposons que l'on décompose la fonction R(x), comme on Ta déjà fait plusieurs fois,

£(5;), A|, A2, . ., A^, X|, ..., X^ étant des polynômes, et le polynôme X, étant premier avec sa dérivée. L'intégrale proposée est alors égale à l'intégrale / E(x)e^^ dx, que l'on a appris

à calculer (n** 85) par une suite d'intégrations par parties, augmentée d'une somme d'intégrales de la forme

/A e^^ dx Si n est plus grand que l'unité, on peut appliquer une formule

de réduction. En effet, le polynôme X étant premier avec sa dérivée, déterminons deux polynômes X et [jl tels que l'on ait identiquement Al = XX -j- [jlX'; il vient alors

^ÔT- =J -X^Pn- -^J -xiT-'^- Une intégration par parties donne ensuite

J ^^ X'» - n-i X^-i^/i-iJ \n-i ^'

et, en réunissant les deux formules, on voit que le calcul de l'intégrale considérée est ramené au calcul d'une intégrale de même espèce où l'exposant n est diminué d'une unité. En continuant de la sorte on est conduit à une intégrale

- dXj

OÙ l'on peut toujours supposer le polynôme B premier avec X et de degré inférieur à celui de X. On ne peut plus appliquer à celte intégrale le procédé de réduction; mais, si l'on connaît les racines de X = o, on peut ramener cette intégrale à une seule transcendante nouvelle. Supposons, pour fixer les idées, toutes les racines réelles; l'intégrale se décompose en plusieurs intégrales de la forme

ax,

que l'on peut ramener à Tune ou l'autre des formes suivantes, en

posant a; == a H- — > w = e^, et faisant abstraction d'un facteur

constant,

/erdy Ç du

y J îôgw*

est une fonction transcendante

qu'on appelle logarithme intégral.

119. Intégrales diTerses. — Considérons encore les intégrales / c«'/(sina7, cosâ?) dXj

oùy est une fonction entière de sinar et de cos^. Un terme quel-