III. — I?fTÉGR4TI0N DBS FONCTIONS TRANSCBNDANTI

conque de cette intégrale est de la forme

/ e^^ sin'^d: cos*» x dx^

m tin étant des nombres entiers et positifs. D'après une remarque déjà faite, le produit sin'"xcos";r peut être remplacé par une somme de sinus ou de cosinus de multiples de x^ et Ton n'a en définitive que deux types d'intégrales à étudier

I e^'cosbxdXy j e^^sinbxdx.

En intégrant par parties chacune de ces intégrales, il vient

/. , e^^s'inbx a C . , , e^'cosoxax— j v / e^-' sinbx dXy

e«' ^xiïbxdx — T ^ A / ^'^'^osbxdXf

et Ton tire de ces relations

, , €<*'( a co%bx -h b sinbx)

e^'cosbx dx =^ ^ — — . — >. — ^,

. , , e'^^iasinbx — bcosbx) e^'smbxdx— —

Parmi les intégrales que Ton peut ramener aux précédentes, citons encore les types suivants :

I /(\ogx)xfndx, I /{dLTCsitix) dxj

/ /(a?) arc sinar rfx, 1 /{x) strcian^x dx,

où /désigne une fonction entière. Dans les deux premières, on prendra pour nouvelle variable logj: ou arcsino:; dans les deux dernières, on appliquera d'abord une intégration par parties en considérant /(^)rfj: comme la différentielle d'un polynôme F(jc), ce qui conduira à des types déjà étudiés.

1. Calculer les intégrales indéfinies des fonctions suivantes

I -i-â7H- /l -H «F* I — \J\-^X \Jx -^ yjx -^\-\- \Jx{x -k-i) COS^^T

are^cos^, > arf^tangx,

où u. est un nombre fractionnaire — •