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On emploie la décomposition en fractions rationnelles. 14. Déduire de la formule qui précède la relation * ar«-* dx 7r
i-f-a: sinair
On a, en posant lp,q= j t^{t -h\)Pdt^ les formules de réduction
et deux formules analogues pour réduire l'exposant q.
16. Établir des formules de réduction pour le calcul des intégrales
r x^dx r dx
J /Aa7«H- iBx-^q' '" J {x — a)"^^PLx'^-\-iBx-hC
*17. Établir une formule de réduction pour les intégrales définies
J/» 1 x^ dx [ « En déduire une formule analogue à celle de Wallis pour
Ji — x^
J/»* dx
18. L'intégrale définie / ■ — :— — - a-t-elle une valeur finie?
^ J^ i-+-x^sin*a:
19. L'aire d'un secteur elliptique compris entre l'axe focal et un rayon vecteur issu du foyer a pour expression
d{ii
■ e cosu))*
EXERCICES. iSl
/> désignant le paramètre -- et e re\centricité. En posant suivant la mé-
on trouve
ihode générale tang ~ — /, puis, ' ~ 1/ w>
^i, — abl arc tang u — e ^ J •
Démontrer que cette expression peut aussi s'écrire
ab
fX> = T {^ — e sin<p),
o désignant Tanomalie excentrique.
20. Trouver les courbes telles que la longueur NT ou l'aire du triangle
MNT soit constante (voir^?^. 3, p. 36). On construira les deux branches
de la courbe.
[Licence : Paris, i88o; Toulouse, 1882.]
•21. ^^'^^^n= ^^^— --J ^i^zi)ncosxzdz. Démontrer la loi de récurrence
On déduit de là les formules
Ajp — Uip sina? -h Vjp cosor, As,,+i — Vip^x sinar -f- Vj^-^, cosx,
où Uj^, X^pf Uî;, hi, V,^^| sont des polynômes à coefficients entiers, Ujp, ^î/H-i ne renfermant que les puissances paires de x. On vérifie que la loi est vraie pour n = i, et l'on en déduit qu'elle est générale au moyen de la formule de récurrence.
Cette expression de Ajp permet de démontrer que ir* est incommensurable. Si Ton avait — — -, en remplaçant x par dans Aj,,, on aurait une relation de la forme
H| étant un nombre entier. Une telle égaillé est impossible, car le second membre tend vers zéro lorsque p augmente indéfiniment.
