CHAPITRE VI

L - INTÉGRALES DOUBLES. - PROCÉDÉS DE CALCUL. tORMULE DE GREEN.

120. Fonctions continues de deux Tariables. — Soii z^^/{Xjy) une fonction continue des deux variables indépendantes x et y. à l'intérieur d'une portion du plan A limitée par un contour fermé C, et sur ce contour lui-même. On peut établir pour cett/^ fonction une série de propositions analogues à celles qui ont ét«démontrées pour les fonctions continues d'une seule variable (n° 70). Ainsi, étant donné un nombre positif e, on peut décomposer la portion A du plan en parties plus petites de telle façon que la différence des valeurs de z pour deux points {x^y), {x',y) d'une même partie soit toujours moindre que s.

Nous procéderons toujours par subdivisions successives, de la façon suivante. Imaginons la portion A du plan décomposée par des parallèles à l'axe des x et k l'axe des ^, la distance de deux parallèles voisines élant égale à 8; de ces portions de A, les unes sont des carrés de côté 8 situés tout entiers à l'intérieur de C, les autres des portions de carrés limitées en partie par des arcs du contour C. Cela posé, si la proposition énoncée n'était pas exacte pour la portion A, il en serait de même pour une au moins des nouvelles portions du plan A| ; en subdivisant de la même façon la portion A, et ainsi de suite, on formerait une suite de carrés ou de portions de carrés

A, Aj, . . . , Art, . . . ,

pour lesquels la proposition énoncée serait inexacte. La portion A„ est tout entière comprise entre deux parallèles x = a„, x r= bn k l'axe des y et entre deux parallèles y ^-: Cn^ y =^ d„ à