I. — PROCÉDÉS DE CALCUL. — FORMULE DE GREEX. 'J

Taxe des x. Lorsque n augmente indéfinimeDt, a,, et b„ ont une limite commune X; c,i et dn ont de môme une limite commune [jl. Caries ««, par exemple, ne vont jamais en décroissant et soni

Fig. 23.

tous plus petits qu'un nombre fixe. Tous les points de A,, tendent vers un point limite M, de coordonnées (X, |jl), situé à l'intérieur du contour C ou sur ce contour lui-même. Le raisonnement s'achève comme plus haut (n" 70)^ si le théorème énoncé était inexact, la fonction /(x, y) ne pourrait être continue pour x ^r-^\, /=|JL, contrairement à Thypothèse.

Corollaire, — Supposons qu'on ait pris les parallèles assez rapprochées pour que la diflTérence des valeurs de z pour deux points appartenant à une même partie soit moindre en valeur

absolue que -> et soit f\ la distance de deux parallèles voisines.

Soient (x, jk)î (^', y) deux points pris à l'intérieur ou sur le contour C, dont la dislance est inférieure à tj. Ces deux points appartiennent à une même portion de A ou à deux portions ayant un sommet commun; dans les deux cas, la différence

ne peut être supérieure en valeur absolue à 2 - = £. Donc, à tout

nombre positif ^ on peut faire correspondre un autre nombre positif r^ tel que Von ait

\f{^^y)'-f(^',y')\ Ce,

pourvu que la distance des deux points ^l{x^y) et M'(.r', y'). pris dans A ou sur le contour C, soit moindre que rj. En d'autres

termes, toute fonction continue dans A est uniformément continue.

De la proposition précédente on déduit, comme plus haut ('n° 70), que toute fonction continue dans A est nécessairement finie dans A. Soit M la limite supérieure et m la limite inférieure 5 la différence A := M — m s'appelle encore V oscillation. La méthode des subdivisions successives permet de démontrer que la fonction z atteint au moins une fois chacune des valeurs M et m pour des points à Tintérieur de G ou sur ce contour luimôme. Soient a un point pour lequel on a ^ = m, et 6 un point pour lequel ^ = M. Joignons a et 6 par une ligne polygonale tout entière intérieure à G. Lorsque le point {x^y) décrit cette ligne, z est une fonction continue de la distance du point {x^y) au point a; elle passe donc au moins une fois par toute valeur (ji comprise entre m et M (n** 70). Gomme on peut joindre a et 6 par une infinité de lignes polygonales, on voit que la fonction f{x^y) prend une valeur jjl comprise entre m et M pour une infinité de points intérieurs au contour G.

Nous dirons, pour abréger, qu'une portion finie du plan A est inférieure à / dans toutes ses dimensions, s'il est possible de trouver un cercle de diamètre / renfermant A à l'intérieur. Une portion variable du plan sera dite infiniment petite dans toutes ses dimensions, s'il est possible de trouver un cercle de rayon aussi petit qu'on le voudra renfermant cette portion du plan à l'intérieur. Par exemple, un carré dont le côté tend vers zéro ou une ellipse dont les deux axes tendent vers zéro sont infiniment petits dans toutes leurs dimensions. Au contraire, un rectangle dont un seul côté tend vers zéro, ou une ellipse dont un seul axe tend vers zéro, ne sont pas infiniment petits dans toutes leurs dimensions.

121. Intégrales doubles. — La portion A du plan étant divisée en parties plus petites ûTi, «a, ..., a^ d'une façon arbitraire, soient w/ l'aire de la portion a/, M/ et mi les limites de f{x,y) dans cette portion a/. Gonsidérons les deux sommes