III. — NOTATION DIFPÉRENTIELLB. 3l
plifie dans certains cas d'une application fréquente dans la pratique. Ainsi, soit à calculer la diflérentielle totale d'ordre n d'un produit de deux facteurs co -= ia\ On a, pour les premières valeurs de n,
dm = çdu-h u dvy d^oj — v d^u-^- 2du dv -h u d^v,
et, d'une manière générale, il est visible, d'après la loi de formation de ces difTérentielles, que l'on a
d** ta =^ V d" u -T- Cl dv df^- ^ u -f- Ctd^v d^-^u -t~. . .-h u d^ç,
C|, C2, . . . étant des nombres entiers positifs. On pourrait démontrer de proche en proche que ces coefficients sont identiques à ceux du développement de (a 4- 6)", mais on y arrive d'une façon plus élégante au moyen de l'artifice suivant qui s'applique à une foule de questions du môme genre. Observons que C|, C2, . . ., Cpy ... ne dépendent pas de la nature des fonctions u et ç; il suffit donc de les déterminer pour des fonctions particulières. Prenons pour cela u = e^j p = ^r, x et y étant deux variables indépendantes; on a
w=<?*-^r, doi = e^+y(dx-^djr)y ..., df^io = e^-^y(dx -h dy)^,
du = e^dxy d^u = e^dx^j ..., dv^eydy, d'^v^^erdy^,
et la formule générale devient, après avoir divisé par e^^^, {dx -^ dyY= dx"* -\- Cl dy dx^-^-^Cidy^dx'*-^-i-.,.-i- dy'^.
Comme dx et dy sont arbitraires, il s'ensuit que l'on doit avoir n ^ n(n—i) n(n — i) . . .(n—p-^i)
et la formule générale est par conséquent
(i3) d'*(uv)= vd'^u-^- d{fd"-^u-h ^~ d^vd'^-^u-r- . . .-r^ ud'^ç. I 1.2
Cette formule s'applique quel que soit le nombre des variables indépendantes; si, en particulier, u et v sont fonctions d'une seule variable x^ on aura, en divisant par dx", l'expression de la dérivée n'^"® d'un produit de deux facteurs.
Il existe des formules analogues à la formule (i3) pour le pro-
duit d^un nombre quelconque de facteurs. On les démontre de la même manière.
La formule qui donne rf^co se simplifie également lorsque les fonctions intermédiaires w, Çj {v sont des fonctions entières et linéaires des variables indépendantes x^ y^ z,
u = ax -t- by -^ cz -+-/, V = a! X -h h' y -^ c' z -r-f, w = a'x -4- fy -i- c'z ->rf\
les coeftlcients a, a\ a", 6, 6', . . . , étant des constantes. On a
du = adx -h b dy -h c dz, dv =^ a! dx -+- h' dy -+- c dz^ dw — a" dx -h b" dy -h c" dz^
et toutes les différentielles rf'^a, rf"^, rf^w, où /i > i , sont nulles. La formule qui donne rf"(o est donc la même que si m, p, «vêtaient les variables indépendantes
Voici une application de cette remarque.
18. Fonctions homogènes. — Une fonction cp(a:, y^ z) est dite homogène et de degré /n, si Ton a identiquement
f^{ix, ty,tz)=.t"^r:^(,x,y,z).
Considérons pour un moment x^y^ z comme ayant des valeurs déterminées et t comme la seule variable indépendante ; la formule précédente peut s'écrire
?(", V, w)= t"^(o{x,y, z), en posant
u — ix, V = ty, w = tz.
Égalons les différentielles d'ordre n des deux membres en
observant que w, v^ w sont des fonctions linéaires de t et que
Ton a
du = X dtf dif =y dt, dw = zdt;
il vient, d'après la remarque de tout à l'heure, en supprimant le
m. — NOTATION DIPFÉRBNTIBLLB. 33
facteur commuD rf/",
/do do ào \ ^"^
^Tj^-^y -^-+-5-^j =m(m-i)...(/n-n-hi)/'"-«9(jr, ^, ;;).
Si mainteDant on fait t= i, u^ v, w se réduisent kx,yy z et un terme quelconque du premier membre supposé développé
se réduit à
^p^'^-ôJl'^r^'y''-'''^
on est donc conduit à l'égalité symbolique
do do do \ f«*
""dx
^'dy'^^ dz) =''K'W — O'-C^'i — ^H-«)?(J^, r> -)» qui se réduit pour /i = i à la formule bien connue
do dû do
Notations diverses. — En définitive, nous avons trois notalions pour représenter les dérivées partielles des différents ordres d'une fonction de plusieurs variables, celle de Leibniz, celle de Lagrange et celle de Cauchj. Ces différenles notations ont l'inconvénient d'être un peu surchargées et deviennent rapidement fastidieuses dès que Ton a un calcul un peu long à effectuer. Aussi a-t-on imaginé diverses notations plus abrégées. Une des plus employées est celle que l'on doit à Monge pour les dérivées partielles du premier et du second ordre d'une fonction de deux variables; si z est une fonction des deux variables x etj^, on pose
dz dz ^ '^'^ d^'Z
et les différentielles totales dz et d'^z ont pour expressions
dz = p dx -h q dy,
d^z =^ r dx^ -r- 9.8 dx dy -4- t dy^.
Une autre notation que l'on commence à employer est la suivante. Si z est une fonction d'un nombre quelconque n de variables G. 3
indépendantes j?i, X2, • • • , x,i, on pose
quelques-uns des indices ai , a^, , . •, %„ pouvant être nuls.
19. Applications. -- Soit j^=/(x) l'équation d'une courbe plane C, rapportée à deux a\es rectangulaires. La tangente en un point M(j^, ^> de cette courbe a pour équation
la normale, c'est-à-dire la perpendiculaire à la tangente menée par le point de contact, a pour coefficient angulaire — ,y et son équation est
par conséquent
Soient P le pied de l'ordonnée, T et N les points de rencontre de l'axe des 27 avec la tangente et la normale; la longueur PN s'appelle la sousnormale, PT est la sous-tangente, MN la normale et MT la tangente.
Fig. 2.
De l'équation de la normale on tire pour l'abscisse du point X la valeur x-\-yy', ce qui montre que la sous-normale est égale à ::hyy\ Si l'on convient d'appeler sous-normale la longueur PN affectée d'un signe, le signe -H ou le signe — suivant que la direction de P vers N coïncide avec la direction positive de ox ou avec la direction opposée, la sous-normale a pour expression yy\ quelle que soit la disposition de la courbe C.
L'expression de la sous-tangente est de même — - ,•
Quant aux longueurs MN et MT, les triangles rectangles MPN et MPT nous donnent respectivement
MN=-VMP ~PN ^ys/x-^y, MT - V Âïp' -f^ Pt' = 4 v/I~^-y^
