PROCÉDÉS DB CALCtL. FORMULE DE GREEN

à chaque subdivision de A correspond ainsi une somme supérieure S et une somme inférieure s. Toutes les sommes S sonl évidemment supérieures à mû, en désignant par û Taire de la portion du plan A; elles ont donc une limite inférieure I. De même, toutes les sommes s sont inférieures à Mû; elles ont donc une limite supérieure I'. D^ailleurs, une somme supérieure quelconque est plus grande qu'une autre somme inférieure également quelconque (on le démontre comme au n** 71). On a donc

Si la fonction f{x^y) est continue, les sommes S et 5 ont une limite commune lorsque les aires partielles diminuent indéfiniment dans toutes leurs dimensions. Supposons en effet que Ton ait pris un nombre positif tj tel que l'oscillation de la fonction soit moindre que e dans toute portion de A dont toutes les dimensions sont inférieures à tj. Si toutes les portions «1, «a? .... a,/ sont de dimensions inférieures à tj , chacune des différences M/ — nit sera inférieure à e et la différence S — s sera elle-même moindre que eu, en désignant par û Taire totale de la portion A du plan.

Mais on a

et aucun des nombres S — f, l — F, V — s ne peut être négatif. On a donc en particulier I — l'<; eu; et, comme e est un nombre positif arbitraire, il faut que Ton ait 1'=^ l. Les différences S — I, I — s peuvent elles-mêmes être rendues plus petites que tout nombre donné à l'avance, en prenant e assez petit. Les sommes S et 5 ont donc une limite commune I, que Ton appelle V intégrale double de la fonction y(x, y) étendue à l'aire A. On la représente par la notation

I = / / f{0Pi y)dxdy,

et la portion A du plan est le champ d^ intégration.

Soit (Ç,-, r[i) un point quelconque à l'intérieur ou sur le contour de la portion a/; il est clair que la somme S/(^/, 7)/)w; est comprise entre les deux sommes S et 5; elle a donc aussi pour limite l'intégrale double, quelle que soit la façon dont on choisit le point (il, >!/).

Le premier théorème de la moyenne s'étend sans difficulté aux intégrales doubles. Soieot/(j?, y), *^{x^y) deux fonctions continues dont l'une ç(^, y) garde un signe constant dans A; nous supposerons, par exemple, ©(^, y) >> o. Si M et m sont les limites de f{x^y) dans A, il est clair que Ton a

M<p($/, 7)/)a>/>/(5/, TQ/)?($/, 'r\i)^i> m^iXi, r^/)w,-;

en ajoutant toutes ces inégalités, et passant à la limite, on en conclut que l'on a

[JL étant compris entre M et m. La fonction /(^,^) étant continue prend la valeur a pour un point (Ç, v^) intérieur au contour C et l'on peut encore écrire

(i) f f /(^,y)o(x,y)dxdy=f(^,T^) f f ^{x,y)dxdy\

c'est la formule de la moyenne pour les intégrales doubles. Si par

exemple ç(^,y) = i, l'intégrale / / dx dy^ étendue à la portion

du plan A, est évidemment égale à Taire û de cette portion du plan, et la formule (i) devient

(2) f f f(^.y)dxdy = Qf{lri).

122. Volumes. — A la notion analytique de l'intégrale double se rattache une notion géométrique importante, celle du volume. Soit /(.î*, y) une fonction continue à l'intérieur d'un contour fermé C, et sur ce contour lui-même; nous supposerons de plus, pour fixer les idées, cette fonction constamment positive. Soit S la surface représentée par l'équation z^=:f{x^ y), et limitée par une courbe F qui se projette orthogonalement suivant le contour C sur le plan des xy\ nous appellerons E la portion de l'espace limitée par le plan des xy^ la surface S et le cylindre qui a G pour section droite. La portion A du plan des xy^ intérieure au contour C, étant divisée en portions plus petites d'une façon arbitraire, soit ai l'une de ces portions limitée par un contour a et (0/ Taire de cette portion. Le cylindre qui a pour section droite