I. PROCÉDÉS DE CALCUL. — FORMULE DE GREEN

la courbe c/ découpe sur S une portioQ de surface 5, limitée par une courbe y/. Soient y?/ et P/ les points de Si dont la distance au plan z^= o est minimum ou maximum ; si par ces points on mène deux plans parallèles au plan z = - o, on forme deux cylindres droits ayant même base o)/ et pour hauteurs respectives les limites m/ et M/ de /(^, v) à l'intérieur du contour c/. Les volumes V, et (', de ces deux cylindres sont respectivement (' ) w. M, et co/ m,. Les sommes S et 5 considérées précédemment représentent donc respectivement les sommes SV, et l^Vi de ces deux espèces de cvlindres. Nous appellerons volume de la portion E de l'espace la limite commune vers laquelle tendent ces deux sommes. On peut remarquer, comme on Ta déjà fait à propos de Taire (n** 78), que cette déQnition est bien d'accord avec l'idée commune que l'on a d'un volume.

Si la surface S était en partie au-dessous du plan des xVy l'intégrale double représenterait encore un volume, à la condition d'affecter du signe — les volumes des portions de l'espace situées au-dessous du plan des xy. On voit que toute intégrale double représente une somme algébrique de volumes, comme une intégrale simple représente une somme algébrique d'aires. Les limites de l'intégrale simple sont remplacées par le contour qui limite le champ d'intégration.

1^. Calcul d'une intégrale double. — Le calcul d'une intégrale double se ramène au calcul de deux intégrales simples prises successivement. Prenons d'abord le cas où le champ d'intégration est un rectangle R, limité par les droites x ^^ Xq^ x ^^\, y =yoi y=^Y, où Xo<C,^j yo < Y. Imaginons ce rectangle décomposé en rectangles plus petits par des parallèles aux deux axes de coordonnées x=^ Xi^ y zzzyff(^iz=z I, îi, . . . , n; A' = i, 2, . . . , m). L'aire du rectangle élémentaire Rm, limité par les droites x^^j?i i, X = X|, y zs=yff^^ y =^yf( a pour expression

(*) Nous appelons volume d'un cylindre droit la limite vers laquelle tend le volume d'un prisme droit de même hauteur ayant pour base un polygone inscrit dans la section droite de ce cylindre, lorsque le nombre des côtés du polygone augmente indéfîniment.

2 88 CH4PITRB VI. - INTÉGRA LK8 DOUBLES.

et l'intégrale double cherchée est la limite de la somme

S -^^^A^ik, 'niA-){^i'-^f-i)(rk—yfc-ih

où (Cm, riift) sont les coordonnées d'un point quelconque pris à l'intérieur ou sur les côtés du rectangle R/yfc.

Nous allons profiter de l'indétermination de ces points (Ç|>, tti/*)

Fig. 24.

vv/.

JC,

j,j Xi Xn^% X

pour simplifier le calcul. Remarquons pour cela que, si une fonction y(^) est continue dans un intervalle (a, 6), et si Ton subdivise (a, 6) en intervalles partiels d'une façon arbitraire par des points de division x^^ x^^ . . . , Xn-K , on peut choisir dans chaque intervalle (x/i, xi) une valeur Ç,- de telle façon que l'on ait

il suffit, en effet, d'appliquer la formule de la moyenne à chacun des intervalles (a, j?i), (a^i, x^)^ . . ., (a:«j, b).

Cela étant, la portion de la somme S qui provient de la file de rectangles comprise entre les deux droites x = jT|i, x = ;r/, a pour expression

(jr,.ar/,)[/{î/,, Yi/,)(7l-7o)^-/(?/2, îi/i)(7î— 7l)-^-•

Nous prendrons Ç|| =Ç/2 = « •• =5<m = ^/-i, et nous choisirons tj/i, 71/2, • • • ) de telle façon que la somme