I. — PROCÉDéS DE CALCUL. — FORMULE DE GREEN

soit égak à l'intégrale / f{xi^^^ y)^yf l*intégrale étant prise

^* en regardant j:i i comme constant. Si nous opérons de même avec

toutes les files de rectangles comprises entre deux parallèles voisines à Oy, nous pouvons écrire

(5) S = *(j'o)(^i— aro)-h*(:ri)(T,— Xi)-T-...-+-*(T/,)(a:/ — a:/i)-h...,

en posant, pour abréger,

4>(a7)= j f{x,y)dy.

Celte fonction ^(^), représentée par une intégrale définie, où x est considéré comme un paramètre, est une fonction continue de x\ lorsque tous les intervalles xi — Xi\ tendent vers zéro, la formule (5) montre que S a pour limite l'intégrale définie

On a donc pour l'intégrale double cherchée

16) f f /(x, }^) dx djr = f dx f f{x,y)dy;

pour avoir la valeur de l'intégrale double, on doit d'abord intég^erf{x, y) entre les limites y o etY^ en y regardant x comme constant et y comme variable : le résultat est une fonction de la seule variable x, que l^on doit intégrer de nouveau entre les limites Xq et IL.

En opérant dans l'ordre inverse, c'est-à-dire en évaluant d'abord la portion de S provenant d'une file de rectangles comprise entre deux parallèles à Oxj on trouverait de même

/ / f(x,y)dxdy = f dy f /(x,y)dx,

et le rapprochement de ces deux formules permet d'écrire

/ dx i f{x,y)dy= f dy f{x,y)dx\

dx. dy^ dy^ dx.

le théorème exprimé par cette formule s'appelle le théorème

d^ntégration sous le signe j . La démonstration suppose essen-

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