III. — NOTATION DIFFERENTIELLE. i
On peut i^e proposer sur ces lignes diverses questions. Cherchons, par exemple, toutes les courbes dont la sous-normale est constante et égale à une longueur donnée a\ cela revient à trouver toutes les fonctions j^ — f{^x) satisfaisant à la relation yy' — a. Le premier membre est la dérivée
de - -j le second membre la dérivée de ax] ces deux fonctions ne doivent
•lifférer que par une constante, et l'on a
>'i — . tftr *- (,.
équation d'une parabole ayant ox pour a\e de symétrie. En cherchant de même les courbes dont la sous-tangcnle est constante, on est conduit à réquation
d'où l'on tire
équation d'une courbe transcendante, asymptote à Taxe des x. Four trouver les courbes dont la normale est constante, on a l'équation ^ y' i -+-^'*— ^, qui peut encore s'écrire
le premier membre est la dérivée de — y^a^ y^, et l'on 3, par conséquent,
v/a^ J^irzz x-:- C,
ou
{.r-^C)^-;-yi- a^.
équation d'un cercle de rayon a, ayant son centre sur l'axe ox.
Les courbes dont la tangente est constante sont des courbes transcendantes, que nous étudierons plus tard.
Soient maintenant y =f(x), Y ~ Fi^.r) les équations de deux courbes planes C, G', et soient M, M' les deux points correspondant à une même abscisse x. Pour que les sous-normales aux deux courbes C et G' aux points correspondants aient la même longueur, il faut et il suffit que l'on ait
et par suite'!* = zty^-h G, le double signe provenant de ce que les sousnormales peuvent être dirigées dans le même sens ou en sens opposé. On «satisfait à la relation précédente en posant
ou
ce qui donne une construction facile delà normale à l'ellipse et à l'hyperbole.
1. Soit p =/(a)) l'équation en coordonnées polaires d'une courbe plane. Par le pôle O on mène une droite perpendiculaire au rayon vecteur OM, dont on prend l'intersection avec la tangente MT et la normale MN. On demande d'exprimer les diverses lignes OT, ON, MN, MT en fonction de /(u))etde/'(w).
Quelles sont les courbes pour lesquelles l'une de ces lignes est constante?
Fig. 3.
2. Soient ^ =/(x), ^ = o(ar; les équations d'une courbe gauche T; soit N le point où le plan normal en un point M, c'est-à-dire le plan perpendiculaire à la tangente, rencontre l'axe des z^ et soit P le pied de la perpendiculaire abaissée du point M sur Oz. Quelles sont les courbes T pour lesquelles une des lignes PN ou MN est constante?
R. Ces courbes sont situées sur des paraboloïdes de révolution ou des sphères.
3. Déterminer un polynôme entier en x et du septième degré /(ar), sachant que f{x) -t- i est divisible par (ar — i)* et f(x) — i par {x -r- 1)*. Généraliser la question.
4 Soient P et Q deux polynômes entiers en x tels que l'on ait
^1 -P«= Q/i ar»
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on a, en désignant par n un nombre entier,
dV __ ndx
R. De la relation
[a) ,pi=Qî(,ar*), on tire, en différentiant,
(b) — aPI"=Q('2Q'(i-a-«)— 2Q:r ;
la relation (a) montre que Q est premier avec P, et la seconde que Q divise P'.
5. 'Soit R(x) un polynôme du quatrième degré n'ayant que des racines simples, et ar = :^ une fonction rationnelle de t telle que Ton ait
Ri(/) étant un polynôme du quatrième degré, et -=r une fonction rationnelle. Démontrer que cette fonction ^ satisfait à une relation de la forme
dx __ kdt
[Jacobi.] k étant une constante.
R. On remarque que toutes les racines de Téquation R ( Vr ) ~ o, qui n'an-
dx Dulent pas R|{/), doivent annuler UV— VU' et, par suite --r*
. 6. *La dérivée /i'*^"* d'une fonction de fonction j^ = ç( w). où u est fonction de la variable indépendante x, a pour expression
dx'^ . ^ / 1.2* i .1. . . n ~
{ ^ d'iu^ k d'^iif^'-^ fcik — i) dnu^-i
} dx'^ I dx'' I . 1 dx"^
On remarque d'abord que l'expression de la dérivée d'ordre n est de la forme (a), les coefficients A|, Aj, . . ., A^ ne dépendant pas de la forme de la fonction ç(m). Pour obtenir ces coefficients, il suffit de faire succes-
sivement (p(//) = m, <p(a) = a', . . ., o(u) — u", cl de résoudre les équations obtenues par rapport aux coefficients Ai, A* \„; ce qui donne
les valeurs (b).
