II. — CHANGBIIENTS DB VARIABLES. Zoy

€l supposons la portion Si assez petite pour qu'une perpendiculaire à ce plan ne la rencontre qu'en un point. La courbe yi se projette sur ce plan suivant une courbe y^ et nous désignerons par 7i Taire de la portion du plan tangent intérieure à y^, région qui est la projection de Si. La somme S^i tend vers une limite lorsque le nombre des portions 5| augmente indéfiniment, chacune de ces régions devenant infiniment petite dans toutes ses dimensions. C'est cette limite qu'on appelle Valre de la portion de surface S.

Soient Xj y y s les coordonnées rectangulaires d'un point de S ; nous supposerons ces coordonnées exprimées en fonction de deux paramètres variables a et r,

de telle façon que la portion de surface S corresponde point par point à la région R du plan (w, (^) limitée par un contour fermé G. Nous admettrons que les fonctions/, îp, ^, ainsi que leurs dérivées partielles, sont continues dans cette région; R étant décomposée en parties plus petites, soit r/ une de ces parties, limitée par un contour c/, et o>|- l'aire de r/. A la région n correspond sur S une portion Si limitée par un contour y/; soit <t,- l'aire plane correspondante que nous venons de définir. Nous allons chercher une expression du rapport — •

Désignons par a/, P/, y/ les cosinus directeurs de la normale à la surface S en un point /w, (j?/, j^/, Zi) de 5|, qui correspond à un point («1, Vi) de r/; le plan tangent en ce point a pour équation

a/(X — ar/) -t- p/(Y - j/) -i- y/(Z - Zi) = o.

IjSl perpendiculaire à ce plan menée par un point M{Xy y^ z) du contour y, a de même pour équations

et la projection M' du point M sur le plan tangent en m/ a pour coordonnées

i X = a:( ?,?-+- Y?) -3t/P/j — a/Yi- -i- a/(a/r/-4- ^/^/-l- Y/-/), I. Z = — %i^ix — ^i^iy -h (a? -f- p? z — ^i(cciXi-{- p/^/-+- Yi-/)-

3o8 CHAPITRE VI. — INTÉGRALES DOUBLES.

Supposons, pour fixer les idées, que le plan tangent en mi ne soît pas parallèle à Taxe des z. L^aire plane ^i se projette sur le plan des xy suivant une aire plane <t), et l'on a la relation o"^= a"||Yi|. Quand le point (m, v) décrit le contour fermé c/, le point (X, Y) décrit, dans le plan xOy, le contour de l'aire plane <t|, et l'on a, comme le montre un calcul facile,

En appliquant la formule générale (17), on parvient donc à la relation

u\^ ç\ étant les coordonnées d'un point du plan (w, ^) de la région r,-. Si cette région est très petite, ce point (w|, v]) est très voisin du point (w/, vi) et l'on peut écrire

8 étant au plus égal à un en valeur absolue. Puisque les dérivées des fonctions /, îp, if sont continues dans la région R, on peut supposer les régions r/ assez petites pour que toutes les quantités e/, e), z] soient moindres qu'un nombre positif arbitraire tj. Le terme complémentaire sera certainement moindre en valeur absolue que Sv^Û, en désignant par Q l'aire de la région R. Ce terme tend donc vers zéro, et la somme Sa-| a pour limite l'intégrale double

dudv,

a, p, Y étant les cosinus directeurs de la normale à la surface S au point (?/, v).

Calculons ces cosinus. L'équation du plan tangent est (n** 39)

(^-^> DÔT^ -^ (^-^) D(^ir^ -^^^^ ^) DÔI^