II. ^ CHANGEMENTS DE VARIABLES

on a donc

Si l'on prend le signe -+• dans le dernier rapport, il vient

une identité célèbre employée par Lagrange

(ab'— ba'y-^^bc*-- c6')*-H (ca'— ac'y

= (a«-i-6*-Hc«)(a'*-h 6'*H-c'*) — (aa'-h 66'-+- ce')*

permet encore d'écrire la quantité sous le radical EG — F^, en posant

E = s/'— V, F = S— ^*^, G = S(^— V, \àu/ ' du dv* \ài>/ ^

OÙ le signe S indique qu'il faut remplacer x par j^, puis par z, et faire la somme. L'aire de la surface S est donc représentée par l'intégrale double

(28) A = r r /EG - F« du di^.

Les fonctions E, F, G jouent un rôle important dans l'étude des surfaces. Si l'on élève au carré les expressions de dx^ dy^ dz et qu'on les ajoute, il vient

(29) ds'^ = dx^-hdy^-^- dz^ = Edu^'-\-2Fdu dv H- Gdv^,

Il est clair que les coefficients E, F, G ne dépendent pas du choix des axes de coordonnées, mais seulement de la surface S et des variables indépendantes w et i' que l'on a prises. Si les variables u, r, et la surface S sont réelles, EG — F^ est nécessairement positif.

132. Élément de surface. — L'expression y/EG — F^ du dç est l'élément d'aire de la surface S dans le système de coordonnées (tt, v). L'aire de la petite portion de surface comprise entre les courbes (a), (w-i-rfw), (t^), {v -\- dv) a pour valeur exacte

3io

(y/EG — F^ -f- e) du dv^ e étant infiniment petit en même temps que du et rfp, et Ton voit comme plus haut qu'on peut négliger le terme tdudv. Quelques considérations de Géométrie infinitésimale permettent de retrouver aisément la valeur de l'élément d'aire . En efiet, si nous assimilons la portion de surface considérée à un parallélogramme situé dans le plan tangent à S au point (e^, v)^ Paire sera égale au produit des longueurs des deux côtés par le sinus de l'angle des deux courbes (m) et (p). Si l'on confond de même l'accroissement de l'arc avec la difl<érentielle ds^ les longueurs des côtés seront, d'après la formule (29), \/Êdu^ y/ôdv^ en supposant du et d{f positifs. Quant à l'angle a des deux courbes, les paramètres directeurs des tangentes à ces courbes sont

dx dy dz dx dy dz ^

respectivement ^-> -/-i 3-, et

* ntt. fit t. nu

dv dv dv '

on a donc

ç, dx dx du dv

[/mVRtï "^

et, par suite, sina = - — — • En faisant le produit, on retrouve

y KG

bien l'expression de l'élément d'aire. On peut remarquer, sur la formule qui donne cosa, que le coefficient F = o lorsque les deux familles de courbes u et ((^) forment un réseau orthogonal, et dans ce cas seulement.

Lorsque la surface S se réduit à un plan, on retrouve ta valeur obtenue plus Aaw/(n®128). En effet, sil'on suppose ^{u, <^) = o, on a

F^f^'^y^f^A' ^^àxdx dydy n(à^y.{àyy

et la règle pour former le carré d'un déterminant donne

dx dx du dç

dy dy du dv