II. — CHANGEMENTS DE VAEIABLE8. 3 II

Exemples^ — i** Soit à trouver Taire d^une portion de surface représentée par Téquation z=f{x^ y)^ qui se projette sur le plan xO^ suivant une région R où la fonction /(^, y) et ses déri^

vées p:r=. J- et q = j- sont continues. En prenant :r et ^ pour

variables indépendantes, on a E = i +/?*, F = pq, G = i -h ^r^, et Taire cherchée est représentée par l'intégrale double

(3o) X^f f y/i-^p^^q^dxdy^ f f^^.

Y désignant Tangle aigu que fait avec 0^ la normale à la surface. 2® Soit à calculer Taire d'une portion de surface de révolution comprise entre deux parallèles. Prenons pour axe des z Taxe de la surface, et soit z=f[x) Téquation de la méridienne dans le plan des xz. Les coordonnées d*iin point de la surface sont

ar = pcos(o, ^ = psint«), z=f{p),

en prenant pour variables indépendantes les coordonnées polaires p et (i> de la projection sur le plan xOy. On a ici

É?5«= C?p»[l4-/'«(p)]-+-p«^co«, E = i-h/'«(p), F=o, G = p«.

Pour obtenir la portion de surface comprise entre les deux parallèles de rayon pi et p2(pi<;p2)> il faut évidemment faire varier p de pi à pa et to de zéro à 9.tz, On a donc, pour Taire cherchée,

X = r d^ f p v/i-h/'«(p)c?a) = air r p v/n-/'H?) «^?» »/p, Jo *^pi

et Ton a une seule quadrature à effectuer. En désignant par s Tare de la méridienne, on a

ûf5«= C?p«-4- dz^ = dp^[\ -h/'«(p)],

et la formule précédente peut s'écrire

, = I 2:rp ds.

L'interprétation géométrique est immédiate; arcp ds est la sur-

face latérale d'un tronc de cône dont le côté serait ds et dont la circonférence moyenne aurait pour rayon p. En assimilant Taire comprise entre deux parallèles infiniment voisins à Taire latérale d'un tronc de cône, on retrouve précisément la formule qui donne X.

Par exemple, l'aire de la calotte d'un para bol oïde de révolution, engendré par la rotation de la parabole x^ = 2/7 5, comprise entre le sommet et le parallèle de rayon r, a pour valeur

III. - EXTENSION DE LA NOTION D'INTÉGRALE DOUBLE. INTÉGRALES DE SURFACE.

133. Intégrales où le champ est infini ou la fonction discontinue. — .Soity*(^,^) une fonction continue dans toute la portion du plan extérieure à une courbe fermée F. L'intégrale double de f{oc^y)^ prise dans la région comprise entre F et^une autre courbe fermée G extérieure à F, a une valeur finie. Si cette intégrale tend vers une limite lorsque la courbe C s'éloigne indéfiniment dans tous les sens, cette limite est, par définition, l'intégrale double de /(a:, j) étendue à la région du plan extérieure à F.

Supposons d'abord que la fonction f{x^ y) conserve un signe constant à Textérieur de F, par exemple soit positive. Dans ce cas, la limite de l'intégrale double est indépendante de la forme delà courbe limite G. Soient en effet G|, Ga, • . ., G,i, . . ., une suite de courbes fermées s'enveloppant mutuellement, de telle façon que G« s'éloigne indéfiniment lorsque n croît indéfiniment. Si l'intégrale double I,/ étendue à la région comprise entre F et C/j tend vers une limite I, il en sera de même pour toute autre suite de courbes G',, G!,, . . . , G^, . . . , satisfaisant aux mêmes conditions. Soit r^ l'intégrale double étendue à la région comprise entre F et G^^; on peut choisir n assez grand pour que la courbe G/, soit tout entière extérieure à G^^, On aura donc r^^<;I/i<'- D'ailleurs \'^ augmente avec m\ elle a donc une limite T^I- ^^ démontrerait de même que Ton a I <!'. Par conséquent, les deux limites sont égales 1'= 1.