III. — EXTENSION DB LA NOTION D*1NTÉGRALE DOUBLE. 3l

Par exemple, soity*(j:, ^) une fonction qui, à rextérieur d'un cercle de rajon r ajant pour centre Torigine, est de la forme

le numérateur ^(^, y) restant compris entre deux nombres positifs m et M. Prenons pour les courbes C des circonférences concentriques à la première. L'intégrale double, étendue à la couronne circulaire comprise entre les deux cercles de rayon r et R a pour expression

/^'^ . r'^<{;(pcosfa), psinfa))pe/p

elle est donc comprise entre les deux intégrales

Cette intégrale a une limite lorsque R augmente indéfiniment/ pourvu que l'on ait 2a — i > i, ou a> i (n** 90). Elle augmente indéfiniment avec R, si a est ^i.

Lorsqu'on ne peut trouver aucune courbe fermée à l'extérieur de laquelle la fonction /(x, y) conserve un signe constant, on démontre comme plus haut (n° 89) que l'intégrale / f f{x^y)dxdy a une limite lorsque l'intégrale / / |/(-2:,y)| dx dy a elle-même

une limite. Mais, lorsque cette dernière intégrale augmente indéfiniment, la première intégrale est indéterminée. En voici un exemple intéressant, dû à Cajlej. Soit /(a:, ^):= sin(.r--f-JK^); si nous intégrons d'abord à l'intérieur d'un carré de côté a, nous trouvons pour l'intégrale double

Jf dx I sin{x^'^y^) dy

= / sinx^dxx I cos y* dy -h j cosx^dxx j sïny^dy, «/o */o t/0 «^0

Lorsque a augmente indéfiniment, les intégrales qui figurent au second membre ont une limite (n° 91). On démontre que cette

limite est égale àl/-> et le second membre a pour limite tz. Au

3l4 CHAPITRE VI. — INTÉGRALES DOUBLES.

contraire, si l'on intègre à l'intérieur d'un cercle de rayon R, on a pour l'intégrale double

Jr* r^ it R it

f doi I psïnp^dp = — [cosp«] = . [i — cosR*j, 0 t/o 4 <> 4

et le second membre est indéterminé lorsque R croit indéfiniment.

On définira de la même façon l'intégrale double d'une fonction/(a:, y) qui deviendrait infinie en un point ou tout le long d'une ligne. Pour cela, on commencera par enlever le point ou la ligne du champ d'intégration en les entourant d'un contour très petit, ou très voisin de la ligne de discontinuité, que l'on fera ensuite diminuer indéfiniment. Par exemple, lorsque, dans le voisinage d'un point (a, 6), la fonction /(^,y) peut s'écrire

OÙ la valeur absolue de ^(^, y) est comprise entre deux nombres positifs m et M, l'intégrale double de /(.r, y), dans une région qui ne contient pas d'autre discontinuité que le point (a, b), a une valeur finie pourvu que a soit inférieur à un, et dans ce cas seulement.

134. La fonction B(/>, q). — On a supposé plus haut que le contour C« s'éloignait indéfiniment dans toutes les directions; mais il est évident que Ton peut aussi supposer qu'une portion seulement de ce contour s'éloigne à l'infini. C'est ce qui a lieu dans l'exemple cité de Gayley, et aussi dans le suivant. Soit

où l'on suppose /? > o, ^ > o; celle fonction est continue et positive dans l'angle xOy. Si nous intégrons d'abord à l'intérieur du carré de côté a, formé par les axes et les droites a? = a, ^ = a, on a pour valeur de l'intégrale double

Jr 2X^P-^e-^*dxx f ly^^-^e-y' dy;

chacune des intégrales du second membre a une limite lorsque a augmente indéfiniment. En effet, si, dans l'intégrale qui définit la fonction T(p) (n*9î)

^P-1 C-< dty