III. — EXTENSION DE LA NOTION 0*INTÉ6EALB DOUBLE. 3l

on pose t = a?', il vient

(3i) T(j>)= I 2x^P-ie-^*dx,

L'intégrale double a donc pour limite le produit T(p)T(q).

Intégrons maintenant à l'intérieur d'un quart de cercle limité par les axes et le cercle a7*-H^' = R*; nous avons pour Tintégrale double, en coordonnées polaires,

/^p^^p-^ç^-^e-P^ dp X I 2C0s*P-*<psin*^-»<prfîp.

Lorsque R augmente indéfiniment^ Tiotégrale double a donc pour limite

en posant

(32) B(/>, g)= / 2cos*P-*<p sin'7->o c?o;

en écrivant que ces deux limites sont les mêmes, on a la relation

L'intégrale B(/?, q) est l'intégrale eulérienne de première espèce; on peut encore l'écrire, en posant sin*çp = r,

B{p,q)=f'^''''(^-nP-'dL

La formule (33) ramène le calcul de la fonction B(p, q) à celui de la fonction T. Si l'on y fait, par exemple, p = q = -, \\ vient

et par suite rf - j = \/t:. La formule (3i) donne alors

D'une façon générale, en faisant Ç =i — p et supposant p compris entre o et i , on a

r{pmi-p) = B(p,,-p)=j\!-^y''^l-;

on verra plus tard que cette inléffrale a pour valeur . •

^ ^ o I sinpr.

3l6 CHAPITRE VI. — INTÉGRALBS DOUBLES.

133. Intégrales de surface. — La définilioii des intégrales de surface est analogue à celle des intégrales curvilignes. Soit S une portion de surface limitée par une ou plusieurs courbes limites C. Nous supposerons que cette surface présente deux côtés distincts, que si Ton peint, par exemple, un des côtés en rouge, l'autre en bleu, il est impossible de passer du côté rouge au côté bleu par un chemin continu situé sur la surface sans fraTichir une des courbes limites (*). Regardons la surface S comme une surface matérielle ayant une certaine épaisseur et soient m, m' deux points infiniment voisins, pris sur deux côtés différents. Menons au point m la normale mn qui ne traverse pas la surface; on dira, pour abréger, que la direction ainsi définie sur la normale correspond à ce côté de la surface. La direction de la normale à l'autre côté de la surface au point m' sera opposée à la première.

Cela posé, soit >5 = çp(;r, y) l'équation d'une portion de surface S, limitée par un contour F, qui n'est rencontrée qu'en un point au plus par une parallèle à Oz\ la fonction ç(x, ^)est continue à l'intérieur d'une région A limitée par un contour C qui est la projection de T. Il est évident que cette surface S présente deux côtés; les directions correspondantes de la normale font respectivement avec Oz un angle aigu ou un angle obtus; nous appellerons côté supérieur celui pour lequel la normale fait un angle aigu avec O2. Soit, d'autre part, P(a7, y^ z) une fonction continue des trois variables a?, y^ z dans une certaine région de l'espace renfermant la surface S. Si l'on y remplace z par la fonction ^{x^y), le résultat est une certaine fonction des deux variables x et y seulement et il est naturel, par analogie avec les intégrales curvilignes, d'appeler intégrale de surface l'intégrale double

(35) f ( V[x,y,^{x,y)]dxdy,

étendue à la région (A) du plan. Imaginons les coordonnées (ar, y^ z) d'un point de S exprimées au moyen de deux variables auxiliaires m et t^ de façon que cette surface corresponde point par point d'une façon univoque à une portion R du plan (w, v). Soient d<3 l'élément de surface S et 7 l'angle aigu que fait avec 0-s la normale au côté supérieur de S; l'intégrale double précédente est égale {voir n°* 131, 132) à l'intégrale double

(36) / / P(ar, y, z)cos^d:^,

où l'on suppose x^y^ z exprimées en fonction de u et de p. Cette nouvelle expression est plus générale que la première, car cosy est susceptible de

(') Il est très facile de former une surface ne satisfaisant pas à celte condition. Il n*y a qu'à déformer une feuille de papier rectangulaire, telle queABCD, de façon à coller le côté BC sur le côté AD, le point C venant en A et le point B en D.