III. — EXTENSION DE LA NOTION D'iNTÉGRALE DOUBLE. 3l

prendre deux valeurs, suivant le côté de la surface que l'on considère. Dans le cas considéré jusqu'ici, où Tangle y <^st aigu, nous dirons que rinlégrale double (35) ou (36) est l'intégrale de surface

(3/) ff^(^>y,^)dxdy,

étendue au côté supérieur de la surface S. Mais si Ton prend pour y l'angle obtus^ tous les éléments de l'intégrale double seront changés de signe et Ton dira que la nouvelle intégrale double représente l'intégrale de

surface / j P dx dy étendue au côté inférieur de S. En résumé, l'intégrale de surface / / P dx dy est égale à zh l'intégrale double (35), suivant le côté de la surface S sur lequel on la prend.

Cette définition permet de compléter l'analogie entre les intégrales simples et les intégrales doubles. Ainsi, dans une intégrale simple, on change le signe en renversant les limites, tandis que jusqu'ici nous n'avons rien vu d'analogue pour les intégrales doubles. Avec la définition généra-

hsée d'intégrale double, on peut dire que l'intégrale / / /{^^ y) dx dyj

que nous avons étudiée jusqu'ici, est l'intégrale de surface étendue au côté supérieur du plan des xy, tandis que la même intégrale changée de signe représente l'intégrale double prise sur le côté inférieur. Aux deux sens de parcours pour une intégrale simple correspondent les deux côtés du plan des xy pour une intégrale double.

L'expression (36) d'une intégrale de surface n'exige pas évidemment que la surface ne soit rencontrée qu'en un point au plus par une parallèle à Oz. On définira de la même façon les intégrales de surface

jjQ.{^,yy^)dydz, JJï{(x,y,z)dxdz,

et l'intégrale plus générale

P(rr, y, z) dx dy -h Q(^, y. z) dy dz -\- K{x, j, z)dz dx\

cette dernière peut encore s'écrire

[P cosy -i- Q cosa -h R cos p J d^^

ff'

if^

2j 3, Y désignant les angles que fait avec les axes la direction de la normale qui correspond au côté choisi sur la surface.

Les intégrales de surface sont surtout utiles en Physique mathématique.

136. Formule de Stokes. — Soit L une courbe gauche, le long de laquelle les fonctions P(Xjy, z), Q(a?, j^, ^), R(:r, y, z) sont continues.

Sl8 CHAPITBB VI. — INTÉGRALES DOUBLES.

L'intégrale curviligne

prise le long de L, se définit comme une intégrale curviligne prise le long d'une courbe plane (n° 93), et nous n'y reviendrons pas. Si la courbe L est fermée, elle se décompose évidemment en trois intégrales curvilignes prises le long de courbes planes fermées. En appliquant à chacune d'elles la formule de Green, on voit qu'on peut remplacer cette intégrale curviligne par la somme de trois intégrales doubles. L'introduction des intégrales de surface permet d'énoncer très simplement le résultat.

Étant donnée une portion de surface S ayant deux côtés, que nous supposerons, pour fixer les idées, limitée par une seule courbe F, à chaque côté de la surface correspond un sens de parcours direct sur le contour F. Nous ferons la convention suivante : En un point M du contour menons la direction M n de la normale qui correspond au côté considéré, et imaginons un observateur ayant les pieds en M et la tète en n. Nous appellerons sens direct le sens dans lequel cet observateur doit décrire T pour avoir à sa gauche la surface S. Aux deux côtés de la surface S correspondent deux sens directs opposés sur le contour T.

Gela posé, considérons d'abord une portion de surface S qui n'est rencontrée qu'en un point au plus par une parallèle à O^ et supposons le trièdre Oxyz ayant la disposition indiquée par \a Jig. 3o.

Fig. 3o.

Au contour F de S correspond un contour fermé G sur le plan des a*/, et ces deux contours sont décrits en même temps dans le sens indiqué par les flèches. Désignons par P(ar, y, z) une fonction continue dans une portion de l'espace renfermant S et par z = p(ir, j) l'équation de cette

surface. L'intégrale curviligne / P(a7, r, z) dx est identique à l'inté-