III. — EXTENSION DE LA NOTION d'iNTÉGRALB DOUBLE. SlQ

grale curyiligne

prise le long de la courbe plane G. Appliquons à celte dernière la formule de Green (n^ 126) en posant, pour plus de précision,

On a

àP(XyX) dP ^^__^^ cosp

dy "~ ^/ ^* ^y ~ ^y ^^ cosY

en appelant a, p, y 1^^ angles que fait avec les axes la direction de la normale correspondant au côté supérieur de S, et la formule de Green donne

l'intégrale double étant étendue à la région A du plan intérieure au contour C. Le second membre n'est autre chose que l'intégrale de surface

prise sur le côté supérieur de S, et nous pouvons écrire

Jf P(Xj y, z) dx =^ I I —dzdx — -dxdy, (D J */,s) ^^ ^y

La formule subsiste évidemment quand on change le côté de la surface, pourvu qu'on change en même temps le sens du parcours de F, et elle s'étend comme la formule de Green à une surface de forme quelconque. En permutant circulairement x^ y^ z, on a deux formules toutes pareilles

Jf R(x,y.z)dz—I I -— dy dz dxdz:

en les ajoutant, on parvient à la formule générale de Stokes / ^{^^yf^)dx^(l{x,y, z)dy-^ ^{-^.y, z)dz

Le sens de parcours du contour (F) et le côté de la surface auquel on étend l'intégrale double se correspondent, comme nous l'avons indiqué.