IV. — APPLICATIONS ANALYTIQUES ET GÉOMÉTRIQUES

137. Calcul des volumes. — (Considérons, comme plus haut, une portion de Tespace limitée par une surface S située au-dessus du plan xOy, ce plan lui-même et un cylindre ayant les génératrices parallèles à 0-s; nous supposerons que la section par le plan 5 := o est un contour tel que celui de \dijîg. 2 5 formé de deux parallèles à Taxe Oy et de deux arcs de courbe APB, A'QB'. Si z=zf{x^y) est Péquation de la surface S, le volume ainsi limité a pour expression (n« 124)

y^ f dx f 'f{x,y)dr.

J{xy y) dy représente l'aire X de la section /.

faite dans ce volume par un plan parallèle au plan des yz^ et la

formule précédente peut s'écrire

: 1 A» dx.

Or un volume limité d'une façon quelconque est égal à la somme algébrique d'un certain nombre de volumes limités comme le précédent. Par exemple, pour évaluer le volume limité par une surface fermée convexe, on peut circonscrire à cette surface un cylindre ayant ses génératrices parallèles à O5, et l'on aura à calculer la différence de deux volumes tels que le premier. La formule (39) s'applique donc à tout volume compris entre deux plans parallèles x =^ a^ x =^ b {a <C b) et une surface de forme quelconque, X désignant l'aire de la section faite dans ce volume par un plan parallèle aux premiers. Supposons l'intervalle (a, b) décomposé en intervalles plus petits a, x^^ X2, • . ., ^/i i, b, et soient ol>o, Xi^ . . ., A/, . . ., les aires des sections correspondant

aux plans x = a^ x = Xt^ .... L'intégrale définie / X dx est la limite de la somme

el)o(a:'i — a) 4- Xiixt— Xi) -+-. . .-\- Xi^i{Xi— iF/-i). . .,