IV. — APPLICATIONS ANALYTIQUES BT GÉOMÉTRIQUES
dont la signification géométrique est évidente, car Xi i (xi — X|-|), par exemple, représente le volume d^une tranche cylindrique ayant pour base la section faite par le plan x = jr/.i, et pour hauteur la distance des deux plans voisins. Le volume cherché est donc la limite d'une somme de tranches cylindriques infiniment minces, définies comme la précédente; ce qui est bien conforme à la notion vulgaire du volume.
Si l'on connaît l'expression de l'aire X en fonction de x^ le volume cherché s'obtient par une seule quadrature. Supposons, par exemple, qu'on veuille avoir le volume compris entre une surface de révolution et deux plans perpendiculaires à Taxe. Cet axe étant pris pour axe des x^ soit z =zf(^x) l'équation de la méridienne dans le plan des xz, la section par un plan parallèle au plan des yz est un cercle de rayon /(j:) et le volume cherché
a pour expression ir / [/{x)ydx.
Cherchons encore le volume de l'ellipsoïde
compris entre les deux plans x = j:©? *r = X. La section par un plan parallèle à jt = o est une ellipse dont les demi-axes sont
égaux à bK/ \ j» ^\/' — ~i^ ^" ^ donc pour le volume
cherché
Pour avoir le volume total, il suffira de prendre ^o== — ^j X = a, ce qui donne ^ izabc.
138. Volome limité par une surface réglée. — Lorsque l'aire X est une fonction entière et du second degré de ar, le volume s'exprime très simplement au moyen des aires B, B', b des deux sections extrêmes et de la section moyenne, et de la distance h des deux sections extrêmes. Si l'on prend le plan de la section moyenne pour plan des^>3, on a
V= / {lx^-\-imx '\- n)dx = il -- -\-ina\
3'12 CHAPITRF Vf. — INTÉGRALES DOUBLES.
d'autre part, on a, A = 2a, b = n, B = /a* + a ma 4- /i, B'= /a* — ima-hn,
et l'on en tire n = 6, a = -y a /a* = B -h B' — 26, ce qui conduit à la formule
Cette formule s'applique en particulier au volume limité par deux plans parallèles et une surface réglée quelconque. Soient, en effet, j = ax-hp, z = bx -^ qles équations d'une droite mobile où a, 6, /?, q sont des fonctions continues d'un paramètre variable, qui reviennent à leurs valeurs initiales lorsque t croît de f© à T. Cette droite décrit une surface réglée et l'aire de la section faite dans cette surface par un plan parallèle au plan a? ^ o a pour expression (n* 94)
JU = / {ax-^-p){b'x-^ q')dty
a\ h\ p\ q' étant les dérivées de a, 6,/), q par rapport à t\ ces dérivées peuvent être discontinues pour un nombre fini de valeurs de t entre /o et T, ce qui arrivera si la surface réglée se compose de plusieurs morceaux de surfaces distinctes. Nous pouvons encore écrire
ab'dt-^x I (aq' -h pb' ) dl -^ 1 pq'dty «0 * '0 '•
et les intégrales qui figurent dans le second membre sont évidemment indépendantes de x. La formule (40) est donc applicable au volume cherché; on peut remarquer qu'elle donne la plupart des volumes que l'on calcule en géométrie élémentaire.
139. Problème de Viviani. — Sur un rayon OA d'une sphère de rajon R comme diamètre décrivons un cercle G, et proposons-nous de trouver le volume de la portion de sphère intérieure au cylindre de révolution ayant pour section droite le cercle G. Le centre de la sphère étant pris pour origine, le quart du volume cherché est égal à l'intégrale double
^ =JJs/K^-x^—y^dxdy,
étendue au demi-cercle décrit sur OA comme diamètre. Si nous passons aux coordonnées polaires p, to, l'angle w pourra varier de o à — et p de o
rv. — APPLICATIONS AMALTTIQUBS ET GÉOMÉTRIQUES. 3^3
à R CCS (n, et Ton a encore
ou
Si l'on retranche de la sphère la portion intérieure au cylindre considéré
Fig. Si.
et au cylindre symétrique par rapport à 0^, le volume de la portion restante est égal à
L'aire û de la surface de la sphère intérieure au cylindre précédent est donnée de même par la formule
0 = 4/ j ^i-+-p^-^ q^dx dy\
remplaçons p et q par leurs valeurs et — ^> et passons au\ coor-
données polaires. Il vient
ou encore
Û = 4R« r*(i — sinai)rfa> = 4R«/- -iV Si Ton retranche de la surface totale de la sphère la portion intérieure aux
3^4 CHAPITRE Vt. — INTÉGRALES DOUBLEF.
deux cylindres, l'aire de la partie restante est égale à
4iiR«~8R«^^— i^ = 8R«.
140. Calcul d'intégrales définies particulières. -— Les dififërenls théorèmes qui oot été établis, tels que les théorèmes sur la diflTé-
rentiation ou l'intégration sous le signe /, permettent quelquefois
de calculer la valeur de certaines intégrales déGnies, sans que Ton connaisse l'intégrale indéfinie. Nous allons en donner quelques exemples.
Soit
A = F(a)= rî^Sil±4^>rf.;
la formule de différentiation sous le signe / donne dk log:(i-t-a*) r* xdx
Mais on a, en décomposant en fractions simples,
X l / X -h OL °^ \
(i-4- aj:)(i-+-a:») "" 14- a* \i + iF* \-\-olx)
et par suite
J/*« xdx Ioff(n-a*) a f } T7 r: = 7 VT- -^ rarctanga.
[^ (i-l-aa7)(i-+-a7*) 2(i4-a*) i -h a» ^
Il reste donc
dS. a ^ log(i-haî) -7- = — ; — - arctangon ^^ — -',
et, en observant que A est nul pour a = o, on peut écrire
A= / —7^= ~d%-^- I r arctangacfa;
en intégrant par parties la première intégrale, il vient A= -arc langalog(i -h a*).
