IV. — APPUCATI0N8 ÀNÀLTTIQUBS ET GBOMBTBIQUBS
Considérons encore la fonction xT ; elle est continue lorsque x varie de o à i, et ^ de a à 6, les deux nombres a et 6 étant positifs. On a donc, d'après la formule générale (n^ l^)»
i dx Ç x7dy — ï dy i xrdx.
Mais I x^dx = ( ) = > et, par conséquent, le
second membre a pour valeur
Ja y-^' ^V«-HI/
D'autre part, on a aussi / x^djrz=(^—-\ = — , et il
vient
D'une façon générale, soient P(^,^), Q(^, J^) deux fonctions telles que l'on ait-^ = -p> et j:©» "^n^oj^o des constantes. On
a, d'après la formule d'intégration sous le signe / ,
c'est-à-dire
(40 r''[P(^,ri)-P(^,7o)]^^= f '[Q(^i,^)-Q(^o,7)]^7.
Cauchy a déduit de là un grand nombre d'intégrales définies. La formule (4 0 ^^ rattache d'ailleurs de la façon la plus simple à la formule de Green, dont elle n'est au fond qu'un cas particulier. Il suffît, en effet, d'appliquer cette formule à l'intégrale curviligne
/PrfxH- QûÇx, prise le long du contour du rectangle formé par
les droites x = Xq^ x= x^^y =yoî y =yt •
Voici encore un exemple d'intégrale définie calculée par un artifice tout particulier. L'intégrale
F(a)= / log(i — 2acosir-4-a*)ûLr
aune valeur finie pourvu que |a| soit différent de un. Cette fonction F(a) possède les propriétés suivantes ; lo F(— a) = F(a). En effet, on a
F(— a)= / log(i-+-2acosa?-4-a»)dîr,
ou, en changeant x en t — y^
F( — a)= / log(i — aa cosj^H- a*)rf^= F(a).
2° F(a2) = 2F(a). Nous pouvons écrire en effet
OU
2F(a)= / [log(i — aacosiTH- a*) -H Iog(i + 2acosa7-i- a*)] <fj? i/o
= / log(i -— 2a* cos2a?4- a*) d!a?.
Posons 2X=yi il vient
iF(a) = - / log(i — 2a*cosj^-+- a*)c()^-+- - 1 log(i-— 2a« cosj^4- a*)rf/
si dans la dernière intégrale on pose encore y=z2Tz — ^, on trouve
/ log(i — 2a*cos^-H a*)c(^ = / log(i — 2a» cos*-+- a*)rf*
et par suite
De la formule précédente on déduit successivement
Remarquons maintenant que si |a| est inférieur à un, a^ tend vers zéro lorsque n augmente indéfiniment; il en est de même de F(a*"), car le logarithme tend vers zéro. On a donc, si |a| < i,
