IV. — APPLICATIONS ANALYTIQUES ET GÉOMÉTRIQUES

Lorsque [a| est supérieur à un, on a, en posant a= g»

= / log(i— 2P cos.r + p*)cte — Tclogp*;

I ^1 ëlant inférieur à un, il reste

F(a) = — irlogP* = irloga*.

L^intégrale définie F (a) est, comme on voit^ une fonction discontinue de a, pour les valeurs a = ± i .

Ui, Valeur approchée de logr(/i -hi). — On peut employer aussi des artifices très variés pour avoir, sinon la valeur exacte^ du moins une valeur approchée d'une intégrale définie. Nous allons en donner un exemple. On a, par définition

la fonction ar'*e-* est maximum pour x = n et sa valeur maximum est n'«e-'». Lorsque x croît de o à n, x^e-' croît de o à /i'»e-"(n >o), et lorsque x croît de n à -H 00, x'^e-^ décroît de /i'»e-'» à o. La fonction n"e-''e—'* croît de même de o à n^e-^ lorsque t croît de — 00 à o, pour décroître ensuite de n^e-» à o, lorsque t croît de o à -+- 00. Nous pouvons donc, en faisant le changement de variable

faire correspondre les valeurs de or et de / de telle façon que, t croissant

de — 00 à -h 00, ar croisse de o à -4- 00.

dx Il nous faut encore calculer -7- • En prenant les dérivées logarithmiques

des deux membres de la formule (4^)) il vient

dx 'itx

dt X — n D'autre part, on a aussi, d'après la formule (4^)t

/* = a? — n — n log ( — ) • Posons, pour faciliter le calcul, a?= /1-4-.5 et développons log (14- - 1

3'i8 CHAPITRE VI. — INTÉGRÀLBS DOUBLES.

par la formule de Taylor limitée au second terme; nous trouvons 0 étant compris entre zéro et i. On en tire successivement

et la formule du changement de variable donne, par suite, r(/i -+-!) = an" e-«i/- f e-'V/ -4- î/i^e-» T e-*\i^^)tdt. La première intégrale

Quant à la seconde intégrale, on ne peut la calculer exactement, puisqu'on ne connaît pas 0, mais il est facile d'en trouver une limite. En eiïet, entre — 00 et zéro, tous les éléments sont négatifs; ils sont tous positifs de zéro

à -h 00. D'ailleurs, chacune des intégrales / , / est moindre en valeur

absolue que / te~'*dt = -• Nous pouvons donc écrire

a> étant compris entre — i et -t- 1 .

Si n est un nombre très grand, --== est très petit, et, en prenant pour valeur approchée de r(/H- i),

r(/n-i) = /i«c-«/2/iir,

l'erreur relative est très petite, quoique l'erreur absolue puisse être considérable. En prenant les logarithmes des deux membres de la formule (43), on a aussi

(44) l0gr(/H- 1) = U -+- i j log 71 — 71 -h i l0g(27C) + £,

e étant très petit, lorsque n est très grand. En négligeant e, on a ce qu'on