IV. — APPLICATIONS ANALYTIQUES BT GÉOMÉTRIQUES

appelle la valeur asympto tique de logr(n -4- i). Cette formule est intéressante, parce qu'elle nous fait connaître Tordre de grandeur d'une factorielle.

142. Théorème de d'Alembert ~ La formule d'intégration sous le

signe / s'applique à toute fonction f{x^ y) continue dans le rectangle

d'intégration. Si, en calculant de deux façons différentes l'intégrale double d'une fonction /(a?, y)^ on obtient deux résultats inégaux, on peut donc affirmer que cette fonction est discontinue en un point au moins du champ d'intégration. Gauss a déduit de cette remarque une élégante démonstration du théorème de d'Alembert.

Soit F(z) un polynôme entier en z de degré m, dont nous supposerons, pour fixer les idées, les coefficients réels. En remplaçant z par

p(cosu)-h i sino)),

et séparant les parties réelles et les parties imaginaires, on peut écrire

F(^) = P-^tQ, en posant

P = Vcp*" cos/ntu + Aip'»-* cos(/n — i)a)-h. . ., Q = App'^sin/nw 4- Ajp'"-* sin(/n — 1 )a) -h.. . .

Soit V la fonction arc tang^^; on a

dV ^ ^ d? "^ dp à\ ^ du> do)

àp " P»-+-Q2 ' d(o "" P«-+-Q^ '

ei, sans qu'il soit nécessaire de développer le calcul, on voit que la dérivée

, d«V seconde , , est de la forme

opdb}

dîV M

dpdta (PJ-4-Qi)î'

M étant une fonction continue de p et de 10. Cette dérivée seconde ne peut devenir discontinue que pour les systèmes de valeurs (p, a>) qui annulent à la fois P et Q, c'est-à-dire pour les racines de l'équation F(s) = o. Si donc on démontre que les deux intégrales

sont inégales, pour une valeur donnée de R, on peut en conclure que l'équation F(2) = oa au moins une racine de module inférieur à R. Or la

-T — r— tf 0) = -T- I >

33o EXERCICES.

et -p est une fonction périodique de co, de période air. Calculons de même la première intégrale; on a

et un calcul facile montre que -r— est de la forme

^ (7tU

àu) "" A5p2'« -+-...

les termes non écrits étant de degré inférieur à 2 m en p, et le numérateur n'ayant pas de terme indépendant de p. Lorsque p augmente indéfiniment, le second membre a pour limite — /n; on peut donc choisir R assez grand

pour que la valeur de — > pour p = R, soit égale à — m -h e, e étant inférieur à m en valeur absolue. L'intégrale / {— m-^t)dtù est évidcm-

Jq

ment négative et, par conséquent, la première des intégrales (45) ne peut être nulle.

1. En un point quelconque M de la chaînette définie en coordonnées rectangulaires par l'équation

on mène la tangente que l'on prolonge jusqu'à son point de rencontre T avec l'axe Oa?, puis on fait tourner la figure autour de cet axe. Exprimer la différence des aires décrites par l'arc de chaînette AM, A étant le sommet de la chaînette, et par la tangente MT : 1* en fonction de l'abscisse du point M ; 2* en fonction de l'abscisse du point T.

[Licence : Paris, 1880.]

2. Soient Ox, Oy, Oz trois axes rectangulaires. Une surface réglée est engendrée de la manière suivante : le plan zOA tourne autour de O.3; la génératrice D, située dans ce plan, fait avec Oz un angle constant dont la tangente est X; elle intercepte sur OA un segment OC égal à Xa6, a désignant une ligne donnée et 0 l'angle des deux plans zOx^zOk,

i** Calculer' le volume limité par la surface réglée et les plans xOy^

zOXf zOkj Tangle 6 des deux derniers étant moindre que 2ir;

2* Calculer Taire de la portion de surface limitée par les plans xOyi

lOx, *0K.

[Licence : Paris, juillet, 1882.]

3. Soient Ox^ Oy^ Oz trois axes rectangulaires. Calculer le volume limité par la surface du paraboloïde elliptique qui a pour équation

iz ^ x^ y^

le plan des xy et la surface du cylindre b-x^ -+- a'^y^ = a*6«.

[Licence : Paris, 1882.]

4. Évaluer Taire du quadrilatère curviligne déterminé par les quatre coniques homofocales

qui correspondent aux valeurs —y -ir-i -r-> -^ de X.

[Licence : Besançon, i885.]