I. — IXTBGEALBS MULTIPLES. — CHANGEMENTS DR VARIABLES
une surface fermée S qui n*est rencontrée qu'en deux points par une
parallèle à Taxe Oz^ et une fonction R{Xf y^ z) continue, ainsi que - *
oz
à l'iotérieur de cette surface. Tous les points de S se projettent sur le plan des xy suivant les points d'une aire A limitée par un contour fermé C. A tout point {X, y) de la région A correspondent deux points de coordonnées Z\— <pi(^, ^) et Zx— ^\{x^ y) de la surface S. Cette surface se trouve ainsi décomposée en deux morceaux Si et St; nous supposerons-Ji<Zi. Gela posé, l'intégrale triple
fjft'-r'"-
étendue à l'intérieur de la surface fermée S, peut s'obtenir en intégrant d'abord par rapport à z entre les limites z^ et zt (n** 144). Le résultat de celte première intégration est K{x^ y, <St)— R(x, ^, ^i), et l'on doit ensuite prendre l'intégrale double
1 j [RiXyyy Zt)~ H{x,y, Zi)]dxdy,
dans la région A. Or l'intégrale double / / R(Xf y ^z^) dxdy n'est autre chose que l'intégrale de surface (n** 135)
/ / R(a?,7, z)dxdy,
prise sur le côté supérieur de la surface St. De même, l'intégrale double de R(ar,^, ^i), changée de signe, est l'intégrale de surface
R(x, ^, z\dx dy^
prise suivant le c6té inférieur de Sf. En ajoutant les deux intégrales, nous pouvons donc écrire
/ / / -- ^J?^/c?5- M R{x, y, z)dxdy,
l'intégrale de surface étant prise suivant le côté extérieur de S.
Cette formule s'étend, comme on l'a déjà expliqué plusieurs fois, à un volume limité par une surface de forme quelconque, et, en permutant ar, J, J, on en déduit deux autres formules toutes pareilles,
Hf^ «/^ dy dz r JJ q(x,x,z) dz dr.
En les ajoutant, en obtient la formule générale de Green pour les intégrales triples
(ag)
les intégrales de surfaces étant toujours prises suivant le côté extérieur. Si, par exemple, on fait P = ar, Q — R — o, ou Q =^, P = R =o, ou R = -3, P — Q r= o, on voit que le volume intérieur à S est égal à Tune quelconque des intégrales de surfaces
(29)' I I xdydz, f fydzdx, ffzdxdy.
150. Intégrales multiples. — Les expressions purement analytiques que Ton a obtenues pour une intégrale double et une intégrale triple permettent d'étendre la définition aux fonctions d'un nombre quelconque de variables indépendantes. Nous nous bornerons à indiquer sommairement la marche à suivre.
Soient Xu ^i, ••.» ^n un système de n variables indépendantes. Nous dirons, pour abréger, qu'un système de valeurs x\^ x\^ . . ., x% attribuées à ces variables représente un point dans l'espace à n dimensions. Toute relation F(a:i, a7j, . . ., iF„) — o, dont le premier membre est une fonction continue, représentera de même une surface; si F est du premier degré, nous continuerons à dire que cette équation représente un plan. Considérons l'ensemble des points dont les coordonnées vérifient certaines relations d'inégalité, telles que
nous dirons que cet ensemble de points forme un domaine D dans l'espace à n dimensions. Si, pour tous les points de ce domaine, la valeur absolue de l'une quelconque des coordonnées a;/ reste inférieure à un nombre fixe, on dira que D est tout entier à distance finie. Si les inégalités qui définissent D ont la forme suivante
(31) xY^X.'lxl X\^X^<X\, ..., X%^XnSx\,
nous appellerons ce domaine un prismatoïde, et nous dirons que les n nombres positifs x] — a;? sont les dimensions de ce prismatoïde. Enfin nous dirons qu'un point du domaine D appartient à la frontière de et domaine, si l'une au moins des fonctions ^i des formules (3o) est nulle pour les coordonnées de ce point.
Gela posé, soit D un domaine fini et f{xiy a7j, ..., x„) une fonction continue dans ce domaine. Imaginons D décomposé en domaines plus petits au moyen de plans parallèles aux plans a?/— o (« = 1, 2, ..., n).
