I. — INTEGRALES MULTIPLES. — CHANGEMENTS DE VARIABLES. 3jI

Prenons Tun quelconque des prismatoïdes déterminés par ces plans, qui sont tout entiers intérieurs à D; soient Aa^i, A:rj, .. ., Ax,» les dimensions (le ce prismatoîde, et fi, ft, . . ., ^n les coordonnées d'un point quelconque appartenant au prismatoîde. La somme

(32) S = 2/(5,,?,, ...,$„) Aar,AXo...Aa7«,

étendue à tous les prismatoïdes qui sont tout entiers à l'intérieur du domaine D, tend vers une limite I lorsque le nombre de ces prismatoïdes augmente indéfiniment, de façon que toutes leurs dimensions tendent vers zéro. On appelle cette limite l'intégrale n^'* de /{xx^ Xj, .. ., Xn)y prise dans le domaine D,

l ^ I I .'. j /{xu Xi, ..., Xn)dxidXi ...dx„.

Le calcul d'une intégrale /i»*'* se ramène encore au calcul de n intégrales simples successives. Pour établir que la loi est générale, il suffit de montrer que, si elle est vraie pour une intégrale (n — i)p'*, elle s'étend à ane intégrale n?^*. Considérons pour cela un point quelconque

(Xlf Xty . . ., Xft)

de D; si nous faisons abstraction pour un moment de la variable Xn, le point (x,, Xt, . ., Xn-t) décrit un certain domaine D' dans l'espace à (/i — i) dimensions. Nous supposerons que le domaine D satisfait à la condition suivante : à tout point (xi, x^j ..., Xn-i) intérieur à D', correspondent seulement deux points sur la frontière de D, de coordonnées (xi, Xfy ..., Xn-i\ x^y ) et (xi, Xij ..., Xn-i; x\y), les coordonnées xj,*' et x>j'' étant des fonctions continues des {n — i) variables x,, rj, ..., Xn-\ à l'intérieur de D'. Si cette condition n'était pas satisfaite, on partagerait D en domaines assez petits pour vérifier séparément cette condition. Cela posé, considérons la file de prismatoïdes du domaine D, qui correspondent à un même point (xi, X2, ..., x^-,"^; on démontrera, comme on l'a déjà fait pour une intégrale double ( n** 124 1, que ces prismatoïdes donnent dans S une somme é^ale à

. Ax„i /

AXiAx, ... Ax„i I / /(Xi, X2, ..., x„)c?x„-f- £

|£| pouvant être rendu moindre que tout nombre positif pourvu que toutes les quantités Ax/ soient assez petites. Si nous posons

4>(xi, Xj, . . ., Xrt i ) - 1 /(xi, X2, . . ., x„) ûfx„,

nous voyons que I est égal à la limite de la somme

S<I>(Xi, Xj, ..., x„i) AxiAxa ... Ax„i,

c'est-à-dire à l'intégrale (/i — i)p'*

(34) I =///... j ^{Xu Xi, ..., Xn-i) dxi . . , dx„-i

dans le domaine D'. La loi étant supposée vraie pour une intégrale {n — 1)1*'% elle est donc générale.

On pourrait encore opérer autrement. Considérons l'ensemble des points (xif Xf, ..., Xn) pour lesquels la coordonnée Xn a une valeur donnée; le point {Xi, arj, . .., ar„i) décrit dans l'espace à (n — 1) dimensions un domaine 8, et l'on voit sans peine que l'intégrale n^^*! est aussi égale à l'expression

(35) ï= / e(x„)ûtr„,

(i{xn) étant l'intégrale (n — i)p** / / / . . . j fdxx . . . dx^-t étendue au

<lomaine 8. Quelle que soit la façon dont on opère, les limites pour les diverses intégrations que l'on a à effectuer dépendent de la nature du domaine D et varient en général avec l'ordre des intégrations. Il y a exception si D est un prismatoïde défini par les conditions

L'intégrale multiple a, dans ce cas, pour expression

i^ I dxi f dxi... I fdxn,

et l'on peut intervertir d'une façon quelconque l'ordre des intégrations, sans changer les limites correspondant à chaque variable.

La formule du changement de variables s'étend aussi aux intégrales n^***. Soient

(36) ar/= Qi{x\, x'i x'n) U = I, 2, ..., n)

des formules de transformation, faisant correspondre point par point à un domaine D', décrit par le point (x\, x^, ..., x'„)f un domaine D décrit par le point (a?!, art, . . . , Xn). On a

\ I f '•' 1 ^(-^1' ^î' •••' ^n)dXi...dXn

La démonstration est toute semblable aux précédentes. Je me bornerai à indiquer, dans ses grandes lignes, la marche à suivre :