I. — INTEGRALES MULTIPLES. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

1* Si la formule (37) est vraie pour deux transformations, elle est vraie pour celle que Ton obtient en les effectuant successivement;

2" Tout changement de variables s'obtient par la combinaison de deux changements tels que les suivants :

(n)Xi^-x\, Xi = x'^, ..., Xn-i^x'^i, ar/, = <p/.(^na?;, ...,0, (39)ar, = 4/,(ar;, ...,x;), .... ar„, = 4/„i(a7;, . . ., a?;), ar„=a?;.

3"* La formule (37) s'applique au changement de variables de la forme (38), comme il résulte de la forme (34) sous laquelle on peut mettre une intégrale nP'^ Elle s'applique aussi au changement de variables (39), d'après la seconde forme (35) de l'intégrale multiple, si Ton admet que la formule est établie pour les intégrales multiples d'ordre n — 1 . On démontrera donc de proche en proche que la formule est générale.

Supposons, pour donner un exemple, que l'on veuille calculer l'intégrale définie

\= f f ■ " f xf ^t" . ' . ^^"(^ — ^l — ^i — ' • • — ^n)? dXi dXi , . . dXn,

où ai, Œj, ..., a^, p sont des nombres positifs, dans le domaine D défini par les inégalités

o^-Ti, olarj, . ., oixn^ a:, -h arj -4- . . . -H rTrt £ I .

Le changement de variables donné par les formules

^i-4-a?,^...-ha:« = Ç,, a-, -f-. . .-h :r„ =. Ç, J„ .... a7„ ={,$,... $„

remplace D par un domaine D' défini par les inégalités

o^Çi^i, o^$j^r, ..., olÇ^ii,

et l'on a de plus, comme le prouve un calcul facile (n° 148;,

^{Xu^i, ..., Xn) t„, .„ j . D(ï„?„ ...,U) "^^ ^' •'•^''-'*

La fonction à intégrer prend la forme

5«,^...>a.+.-. ça. *-...+«,+«-. . . ça„(, 5,)P(. -$,)«•• .-(l - ?„)«"-, et l'intégrale cherchée s'exprime encore au moyen de la fonction F

,, , r(a,-i-i)r(aj-}-o...rfa„-^i)r(p + i)

r( a, -4- «î -i- . . . -H ïfl H- p -î- W -+- I )