II. - INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES TOTALES

151. Méthode générale. — Soient P{x, y), Q(^, y) deux fonctions des deux variables indépendantes ^ et^^ l'expression

Pdx-hQdy

n'est pas en général la différentielle totale d'une fonction des deux variables j;, ^. En effet, l'équation

(4i) du^-Pdx-hQdy

est, comme l'on sait, équivalente à deux équations distinctes

différentioDS la première par rapport ky, la seconde par rapport kXj nous voyons que u{x^y) doit satisfaire aux deux relations

dUi dV{x,y) d^u àQ(x,y)

dx dy ~ dy ' dy dx àx

Pour qu'il existe une fonction u{x^y) répondant à la question, il faut donc que l'on ait identiquement

^^^ dy dx

Cette condition nécessaire est aussi suffisante. En effet, il existe une inûnité de fonctions u{x,y) dont la dérivée partielle par rapport à X est égale à P(xjy)', toutes ces fonctions sont contenues dans la formule

u= f P{x,y)dx-^Y,

Xq étant une constante choisie à volonté, et Y une fonction arbitraire de la variable y. Pour que cette fonction u{x,y) vérifie l'équation (ii), il faut et il suffit que sa dérivée partielle par rapport ky soit égale à Q(^, y), c'est-à-dire que l'on ait