I. PROPRIÉTÉS GÉNÉUALES DES SÉRIKS

positifs, quel que soit le nfimbre positif/?. Tous les termes de la siiile (i) sont compris, à partir de s,t^ entre Sn — eei Sn~\- e. Soit S la plus grande des limites des termes de cette suite; d'aprt^s ce qu'on vient de voir, on peut détacher de la suite (i) une suite partielle ajant pour limite S, et, lous les termes de cette suite partielle étant compris, à partir d'un certain ran^, entre s„-{-z ets„ — s, il est clair que la valeur absolue de S — .ç,, est au plus égale à e. Soit maintenant s^ un terme quelconque de la suite (i), dont l'indice m est supérieur à n. Nous pouvons écrire

5,n — S =(S,;» — 5„) -4- (Sn— S),

et la valeur absolue du second membre est inférieure à 2 e. Comme £ est un nombre positif arbitraire, il s'ensuit que le terme général Sm a pour limite S, lorsque Tindice m augmente indéfiniment.

Remarque. — Sî S est la plus grande des limites des termes de la suite (i), tout nombre supérieur à S est de la classe B, et tout nombre inférieur à S, de la classe A. Le nombre S lui-même peut être de la classe A ou de la classe B.

lo7. Étant donnée une suite infinie quelconque

Oo, Wi, Wi, .., Un, ...

on dit que la séri''

(a) Uq~\- Ui-h Ui-\-. . .-h U;t -^ . . .

e^t convergente, si la suite formée par les sommes successives des termes de cette série

est elle-même convergente. Soit S la limite de cette suite, c'o>t à-dire la limite vers laquelle tend la somme Sn lorsque n au-^mente indéfiniment; S s'appelle la somme de la série précédente, et l'on indique cette dépendance par l'égalité

Une série qui n'est pas convergente est appelée dis^ergente. Reconnaître si une série est convergente ou divergente revient

donc à reconnaîlre si la suite formée par les sommes successives So, S^, Sa, ... est elle-même convergente ou divergente. Inversement, pour savoir si une suite infinie quelconque

^u» ^ij ^ii • • •» *«»

est convergente, il suffit d'examiner la série

car la somme S,i des (n -+- 1) premiers termes de cette série est évidemment égale au terme général s,t de la suite considérée. Cette remarque est d'une application fréquente.

La série (2) est convergente ou divergente en même temps que la série

(3) Up-^Up^i-

obtenue en supprimant les p premiers termes de la série (2). En effet, soient S„(n >/>) la somme des n -h 1 premiers termes de la série (i), et ^n-p 'a somme des n — /? -f- i premiers termes de la série (3) :

la différence S^ — 2]„^ = Uq-^ u^ -]-. . .-h Up^i ne dépendant pas de /i, si la somme S„ tend vers une limite, il en est de même de 2„p, et inversement. Il suit de là que, pour reconnaître si une série est convergente ou divergente, on peut toujours négliger autant de termes que Ton voudra, au commencement de la série. Soient S la somme d'une série convergente, S,, la somme des/i+ 1 premiers termes de la série, et R„ la somme de la série commen- <^anl au terme w„^.i

R» = «/n-i •+■ W/i^î -»-...-+- ll,i+p — . . . .

On a évidemment

Il est en général impossible de calculer exactement la somme S d'une série convergente; si l'on prend pour valeur approchée de S la somme S„ des n + i premiers termes, l'erreur commise est égale à R„. Puisque S„ a pour limite S lorsque n augmente indéfiniment, la différence R/, tend vers zéro, et l'on peut toujours prendre un nombre de termes assez grand pour que Teireur com-

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mise en remplaçant S par S,/ soit moindre que tout nombre donné à Tavance, du moins théoriquement. Il suffit de connaître une limite supérieure de R„ pour se rendre compte de Tapproximation obtenue. Il est clair que, dans la pratique, les seules séries qui se prélent aux calculs numériques sont celles pour lesquelles le reste R„ tend assez rapidement vers zéro.

De la définition même de la convergence résultent un certain nombre de propriétés qu'il nous suffira d'énoncer :

i" Si Ton multiplie tous les termes d'une série par un nombre constant a, différent de zéro, la nouvelle série est convergente ou divergente en même temps que la première; lorsque la première est convergente et a pour somme S, la somme de la seconde série est «S ;

2"* Si l'on a deux séries convergentes

Mo-+- Wi-h WJ-+-. . .-H Un -h. . .

ayant respectivement pour sommes S et S', la nouvelle série obtenue en les ajoutant terme à terme,

est convergente et a pour somme S -H S'. Il en serait de même si l'on ajoutait terme à terme/? séries convergentes;

3"* On ne modifie pas la convergence ou la divergence d'une série en changeant la valeur d'un nombre fini de termes de cette série; car cela revient à augmenter ou à diminuer toutes les sommes S,, d'une quantité constante, à partir d'une valeur assez grande de n,

La critérium de convergence d'une suite infinie quelconque, appliqué aux séries, donne la règle générale de convergence de Cauchy ('). Pour qu\ine série soit convergente , il faut et il suffit qu^à tout nombre positif e on puisse faire correspondre un nombre entier n, tel que la somme dUin nombre quelconque de termes à partir de u„^t soit moindre en valeur absolue quee.

On a en effet S„+^— S,/= Un^t H- ///z+a-H. . .+ Un^p- En particulier le terme général Un+i = S,/^.| — S,i doit tendre vers zéro lorsque n augmente indéfiniment.

(*) Exwcices de Mathématiques ; 1837. Œuvres complètes, t. VII, 3" série» p. 267.

374 MIAPITBE VIII. ~ DÉVELOPPEMENTS EN SÊRIKS.

La règle de Caiichj e^t absolument générale, mais elle est difficilement applicable dans la pratique; elle n^est au fond que le développement de la notion même de limite. Nous allons rappeler les ngles pratiques les plus usil('es pour reconnaître la convergence ou la divergence d'une série. Ces règles offrent toutes ce caractère commun de n'êlre applicables que dans des cas particuliers, mais elles suffisent dans la plupart des cas.

158. Séries à termes positifs. — Les séries dont lous les termes sont positifs ont une grande importance, et nous commencerons par les étudier. Dans une telle série, la somme S„ va en croissant avec n ; pour que la série soit convergente, il suffira donc que celle somme S„ reste inférieure à une limite fixe, quel que soit /?. Le procédé le plus général pour décider de la convergence ou delà divergence d'une série consiste à comparer la série proposée à une autre série déjà étudiée. On s'appuie pour cela sur les deux propo>itions suivantes :

i" Si une série à tonnes po^^ilifs a tous ses termes inférieurs ou au plus égaux respectivement à ceux d'une autre série coDvergenle à ternies positifs, la première série est convergente.

Car la somme S„ des n premiers termes de la série proposée esl évidemment plus petite que la somme S' de la seconde série; elle a donc une limite S inférieure à S'.

Si" Si une série à termes positifs a tous ses termes plus grands respectivement que ceux d'une série divergente à termes positifs, cll<î est également divergente.

Car la somme des n premiers termes de la première série esi suprrieui e à la somme des n preuners termes de la seconde et par suite augmente indéfiniment avec n.

On peut faire la comparaison de deuT séries d'une autre façon, en s'appuyant sur le lemme suivant : Soient

(U) MoH- "l-+- Wj-h. . .-f- M/,-f-. . .

deux srries à termes positifs. SI la série (U) est convergente et si,

à partir d'un certain ranff, on a constamment -"^- <r -^-^ la

' ^' i'« ^ Un

série (V) est aussi convergente. Si la série (U) est divergente el