I. — PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES SÉRIES. IjS

si, à partir d'un cerlain rang, on a constamment — ^ <i -^^> la série (V) est également divergente.

Pour démontrer la première partie, supposons que l'inégalité

— "^^ <* ~— soît vérifiée pour n^ p. Comme on n'altère pas la

convergence d'une série, ni le rapport d'un terme au précédent, en multipliant tous les termes par un même facteur constant, on peut supposer t'y, <; ifp. et il esl évident que l'on aura Vp^i < W/j+i,

puis t'^^.><C ''/7+j 1-a série (V) sera donc convergente. La

seconde partie du lemme s'établit de la même façon.

Élant donnée une série à lerines positifs, de caractère connu, on peut la prendre comme terme de comparaison, et l'on obtient ainsi deux propositions permettant dans certains cas d'affirmer la convergence ou la divergen<-e d'une autre série à termes positifs, suivant que l'on compare les termes eux-mêmes dfs deux séries, ou les rapports de deux termes consécutifs.

159. Règles de Cauchy et de d'Alembert. — I^a série la plus simple que Ton puisse pr(»n(lre comme terme de comparaison esl la progression géométrique de raison r, qui esl convergente si r<f, et divergente si /*^i. La comparaison d'une série à termes positifs avec une progression géométrique conduit à la régie suivante, due à Caucby :

Lorsque, dans une série à termes positifs, sj Un est, à partir dUin certain rang, constamment moindre quun nombre fixe, inférieur à Vanité, la série est convergente; si\/u,t est, à partir d^un certain rang, constamment supérieur à C unité, la série est divergente.

Dans le premier cas, on a, en eflTet \/u,i <,!<<. i, et par suite u„<CA'". Les termes de la série sont donc, à partir d'un cerlain rang, moindres que ceux d'une progression géométrique de raison plus petite que Tunilé. Dans le second cas, au contraire, on ay/w/^>> 1 , et w„>> i; le terme génénd ne tend donc pas vers zéro.

La règle précédente esl applicable, toutes les fois que \/u,t tend vers une limite, et l'on peut encore énoncer la proposition suivante :

376 CHAPITRE Vlll. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.

Si \Jun tend vers une limite /, lorsque n croit indéfiniment , la série est convergente si l est inférieur à un, et divergente si lest supérieur à un.

Si /== I, il y a doute, sauf dans le cas où ^/w^ tend vers Tunllé en lui restant supérieur; la série est alors divergente.

En comparant de même le rapport de deux termes consécutifs d'une série à termes positifs au rapport de deux termes consécutifs d'une progression géométrique, on obtient la règle de d'Alt^rabert :

Lorsque, dans une série à termes positifs, le rapport d'un terme au précédent est, à partir d*un certain rang, inférieur à un nombre fixe plus petit que C unité, la série est convergente. Si ce rapport est, à partir d' un certain rang, supérieur à l'unité, la série est divergente.

On en déduit comme corollaire que si le rapport -^^ tend

vers une limite /, lorsque n augmente indéfiniment, la série est convergente si / < ' 5 et divergente si l>i. Le seul cas

douteux est celui où /= i, à moins que — ^^ ne tende vers un en

lui restant supérieur. La série est alors divergente.

Remarques diverses. — La règle de Gauchy est plus générale que celle de d' Vlembert. Supposons, en effet, que les termes d'une série soient, à partir d'un certain rang, plus petits que ceux d'une progression géométrique décroissante; le terme général Un sera, pourvu que n soit plus grand qu'un nombre fixe />, inférieur à Ar'», A étant une constante et r

étant plus petit que un. On aura donc v^Wrt<rA'', et le second membre a pour limite r lorsque n augmente indéfiniment. En désignant par k un nombre fixe compris entre r et i, on aura donc, à partir d'un certain rang, v^W/, <A:. Nous sommes donc toujours dans un cas où la règle de

Gauchy est applicable, mais il peut se faire que le rapport "^' prenne

Un.

des valeurs supérieures à un, aussi loin que l'on aille dans la série. Prenons, par exemple, la série