I. — PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES SÉRIES
peut prendre en général une infinité de valeurs supérieures à un, lorsque n augmente indéfiniment.
Il y a cependant avantage à conserver la règle de d'Alembert, qui est souvent d'une application plus facile. Ainsi, dans la série
le rapport d'un terme au précédent a zéro pour limite lorsque n
augmente indéfiniment, tandis qu'on ne voit pas immédiatement ce que
devient \/w^ = — pour des valeurs très grandes de n.
Quand on a reconnu, par l'application d'une des règles précédentes,
que les termes d'une série sont respectivement moindres, à partir d'un
certain rang, que ceux d'une progression géométrique décroissante
A, Ar, A/*, ..., Ar«, ...,
il est facile d'avoir une limite de l'erreur commise quand on prend pour somme de la série la somme de ses m premiers termes; cette erreur est évidemment moindre que la somme de la progression
Lorsque les deux expressions '^u^ et —^^~1 ont chacune une limite, ces
Un
deux limites sont les mômes. Considérons, en effet, la série auxiliaire
(4) Uo-+- UiX -h U^X^-i-. . . \- UnJ^"'^-. . ',
où X est positif. Dans celte série, le rapport d'un terme au précédent a |>our limite IXj l étant la limite du rapport "^^ y la série (4) est donc
ronvergentc si l'on a x< y> et divergente si a? > y De môme, en désignant par /' la limite de /a», l'expression yu^x'^ a pour limite l'x^ de sorte que la série (4) doit être convergente si l'on a .r < ? et divergente
si j? > j7« Pour que ces deux caractères de convergence ne soient pas en
contradiction, il faut évidemment que /= /'; si l'on avait par exemple,
l > l\ tout nombre x compris entre . et -p rendrait la série convergente
d'après la règle de Gauchy, tandis que le môme nombre rendrait la série divergente d'après la règle de d'Alembert.
378 CHAPITUK Vlll. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.
IMus généralement, lorsque ^"'"^ tend vers une limite /, y/w^ tend vei>
la même limite (»). Supposons, en effet, qu'à partir d'un certain ranp tous les rapports
soient compris entre / — e et l-ht^t désignant un nombre positif que l'on peut supposer aussi petit que Ton veut, pourvu que n soit assez grand. On aura aussi
ou encore
Un
lorsque, n restant fixe, le nombrtî p augmente indéfiniment, les dcu\ termes extrêmes de cette double inégalité tendent respectivement vers l—i et l -h z. On aura donc, pour toute valeur de m supérieure à une limite convenable,
l — IZ,^ y/ ll„l , i ~r^ XI,
et, romme e est arbitraire, on en conclut que ^u,,! ^ pour limite If nombre /.
Il est ù remarquer que la réciproque n'est pas vraie. Prenons, par exemple, la série
j, a y ah, a^ù, a^b^, ..., ««6"-', a" h", ...,
où a et ^ sont deux nombres différents. Le rapport d'un terme au précédent est alternativement a ou b, tandis que l'expression v^«« a pour limite ^ab lorsque n augmente indéfiniment.
La proposition précédente peut servir à trouver la limite de certaine* expressions qui se présentent sous forme indéterminée. Elle nous montre, par exemple, que v^7T^>. . . . // augmente indéfiniment avec n, car le rapport — - '*" aui^mente lui-même indéfiniment. On verra de même
que \/yi a pour limite l'unité, ainsi que v^log/i.
160. Application de la plus grande des limites. — Cauchy a présente la règle précédente sous une forme plus générale. Soit a«le terme général d'une série à termes positifs. Considérons la suite
( ' ) Cauchy, Cours d'Analyse.
