I. -- PROPRIKTlis GÉNÉKALkS DICS SÉRIES

si les termes de celle buile n'ont pas de limite supérieure, le terme général a^ ne tend pas vers zéro, et la série est divergente. Si tous les termes de la suite (5) sont moindres qu'un nombre fixe, soit eu la plus grande des limites des termes de celte suite.

La série I^Un est convergente si to est inférieur à un, et divergente si cx) est supérieur à un.

Pour démontrer la première partie, soit i — at un nombre compris entre w et i. D'après la définition de la plus grande des limites (n° 156), il n'y a qu'un nombre fini de termes de la suite (5) supérieurs à 1 — a; on peut donc trouver un nombre entier p tel que, pour toute valeur de // supérieure à/?, on ait v^a,i<i — a. La série Sa^ est donc convergente. Au contraire, si l'on a œ > 1, soit i h- a un nombre compris entre i et co; il y a une infinité de termes de la suite (5) supérieurs à 1 -f- a, et par suite une infinité de valeurs de n pour lesquelles an est plus grand que un. La série Sa^ est donc divergente. Il n'y a doute que dans le ras où to — 1.