Théorème de Cauchy. — Loisqiie — ^^^ on \/Ufi tend vers
ruuilé, sans être constamment supérieur à un, les règles de d'Aleniberl el de Caucliy ne permettent pas d'affirmer la convergence ou la divergence d'une série. Il faut dans ce cas prendre pour termes de comparaison d'autres séries jouissant de la même; propriété, el de caraclère connu. La proposition suivante, que Cauchy a déduite de Télude des intégrales définies, permet souvent de décider de la convergence ou de la divergence d'une série, lorsque les règles précédentes ne permettent pas de rien affirmer.
Soit îp(^) une fonction positive à partir d'une certaine valeur a de x^ allant constamment en décroissant et tendant vers zéro quand x augmente indélinlment. La courbe y --^ 'f{^) ^^^ asy mp-
lote à l'axe des .r, et l'inlégrale définie / (f(x)dx peut tendre
vers une limite finie ou non, lorsque / croît indéfiniment. Cela posé, la série
(6) cp(a)-i- cp(a -m; -h. ..-^<p(a H- /i) +. . .
est convergente si T intégrale prcccilente tend vers une limite, et divergente dans le cas contraire.
Considérons, en efl'el, les rectangles construits avec la base un et les hauteurs respectives f (a), ^[a -f- 1), . . . , o{a -H n)\ ces
38o CHAPITRE VIII. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.
reclaDgIes étant tous extérieurs à la courbe ^ = ^{^)t 'a somme de leurs aires est évidemment supérieure à Taire de la courbe comprise entre Taxe des x et les deux ordonnées x = a^ x := a-}- rij
o{x) dx.
Si nous prenons au contraire les rectangles intérieurs construits avec la base un et les hauteurs respectives cp(a -\- \)^^{a -\- i)^ . . ., 'p(a-|-/i), la somme des aiies de ces rectangles est moindre que Taire de la courbe, ce qu'on peut écrire
Cela posé, si l'intégrale / (f(x)dx tend vers une limite L
lorsque /augmente indéfiniment, la somme cp (a) 4-. . .-h ©(«-+- /i), restant constamment moindre que (p(a)-l-L, tend vers une limite; la série (6) est donc convergente. Au contraire, si l'iaté-
I ?('^) dx croît au delà de toute limite, il en est de même,
it
d'après la première inégalité, de la somme
o ( a ) -h o ( rt !- I ) -+- . . . 4- 'f ( rt H- /ï ) ;
la série (6) est donc divergente.
Prenons par exemple (f(x)=: --, où [x est positif, et a = i.
Cette fonction 'f(x) satisfait bien à toutes les conditions de
J/* ' dx f — tend vers une limite lorsque /croît
indéfiniment, pourvu que [x soit supérieur à l'unité, et dans ce cas seulement. Il en résulte que la série
iH»
aH-
est convergente si (jl est plus grand que un, et divergente si [a^ i-
Supposons encore (p(x)= — — ! , « = 2, a étant positif
et logjr désignant le logarilhme népérien. On a, en supposant (x^ I ,
dx
'. .ji.^.-)^ - ,izn uiog«)-«^- iiog.y-n
