I. — PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES SÉRIES

le second membre a une limite finie si jjl > i et augmente indéfiniment si (x<i. Dans le cas particulier où a = i , on voit de la même façon que l'intégrale croît au delà de toute limite. La série

est donc convergente si |ji > i , et divergente si [x< i . Plus généralement la série dont le terme général est

n lo^jf/i U\\::}n loj^^/i . . . loj;/^ ^ • n{\o\i,f n.})^

est convergente, si Ton a tx >> i et divergente si u£ i . On a écrit, pour abréger, log^/i à la place de loglog/i, log'/i à la place de

Bien entendu on ne donne à rentier n que les valeurs assez grandes pour que log/i, log^/i, log'/i, . . ., \o^p n soient positifs, et l'on suppose les termes manquants remplacés par des zéros. On le démontre comme pour les séries précédentes; si, par exemple, on a [JL ^ I , la fonction

jr lo{^j7 \ii*^^x . . . ( \o^Px )V'

est la dérivée de (\o^p x )^~^y et cette dernière fonction ne

tend vers une limite finie lorsque x augmente indéfiniment que si Ton a (JL > I .

La propo<^ition de Cauchy est susceptible d'applications d'un autre genre. La fonction <^{x) satisfaisant toujours aux conditions énoncées plus haut, considérons la somme

où n et p sont deux nombres entiers que l'on fait croître indéfiniment. Si la série, dont le terme général est ©( n), est convergente, la somme précédente a zéro pour limite, car elle est la différence des deux sommes Sn+p^i et Sa qui tendent l'une el l'autre vers la somme de la série. Mais si cette série est divergente, on ne peut plus rien afiirmer. En reprenant la représentation géométrique de tout à l'heure, on parvient à la double inégalité

comme <p(/i) tend vers zéro lorsque n croît indéfiniment, on voit que la limite de la somme considérée est la même que celle de rinté-

grale / o{x)dx^ et elle dépend de la façon dont les nombres n et p

croissent au delà de toute limite.

Par exemple, pour avoir la limite de la somme