PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES SÉRIES
rieur à un nombre fixe plus grand que V unité, la série esl
convergente. Si . ^ ~ est constamment inférieur à l* unité y la série est divergente.
log —
Lorsque -. tend vers une liitiite l quand n augmente indé-
^ logn ' ^
finimenty la série, est convergente si l^ i, et divergente si l<^ i .
It y a doute si l\ .
Pour démonlrer la première parlic, remarquons que de l'inégal i lé
on déduit
ou
log-^- > ^log/^
Un
"« < TTa
comme l'on a A* 1> i , la série esl donc convergente. De même, si Ton a
log ■- < log/j, u,i
on en déduit Un > - > la série esl donc divergente.
Celle rè,:;le permet de reconnaître la convergence d'une série toutes les fois qu'à partir d'un certain rang les termes de celle série sont respectivement moindres que ceux de la série
où A est un facteur constant, et [jl >► i . Si l'on a, en eflTel,
on en déduit
ou
logw,»-h |ilog/i < logA,
log/i ' logn
et le second membre a pour limite [x lorsque n augmente indéGniment. A partir d'un certain rang, on aura donc en désignant par K un nombre compris entre un et [ji,
loff—
log/i En prenant de même comme termes de comparaison les séries
^/i(^log/i)V ^n\
on obtient une infinité de règles de convergence, qui se déduiront
de la précédente ( * ) en remplaçant dans l'énoncé -j par -j — j-^»
log z
puis par — .—3 — ^^? •••• Les règles s appliquent a des cas de
plus en plus étendus; il est facile de s'assurer, en effet, que si Tune d'elles permet de reconnaître la convergence ou la divergence d'une série, il en sera de même de toutes les suivantes. Mais, aussi loin que l'on aille dans la série des essais, il peut se faire que l'application de ces règles ne permette jamais de reconnaître le caractère d'une série. MM. du Bois-Reymond (*) et Pringsheim (') ont en effet formé des séries, tant convergentes que divergentes, pour lesquelles les critères logarithmiques ne donnent aucune indication. Ce résultat est d'un grand intérêt théorique, mais les séries convergentes de celte espèce sont évidemment très lentement convergentes et ne paraissent pas susceptibles d'applications au calcul numérique (*).
(>) Voir Bertrand, Traité de Calcul différentiel et intégral, t. I, p. a38; Journal de Liouville, i'* série, t. VII, p. 35.
(') Ueber Convergenz von Reihen.,. {Journal de Crelley t. 76, p. 85; 1873).
(^) Allgemeine Théorie der Di%fergenz... {Afathematische Annalen, t. 35; »890).
(*) Dans un exemple de série convergente, dû à M. du Bois-Reyroond, il faudrait, d'après l'auteur, catculer la somme d'un nombre de termes égal b\ï volume de la Terre exprimé en millimètres cubes pour avoir seulement la moitié de la somme de cette série.
