I. — PBOPRIÉTÊS GÉNÉRALES DBS SÉRIES

163. Règle de Raabeet Duhamel. — En conservant les mêmes séries comme termes de comparaison, mais en comparant les rapports de deux termes consécutifs au lieu de comparer les termes eux-mêmes, on est conduit à de nouvelles règles, moins générales, il est vrai, que les précédentes, mais qui sont souvent d'une application plus commode dans la pratique. Ainsi, soit

(;) l/o-^ Mi-+- Mj-H. ..-r Wrt-I-...

une série à termes positifs dans laquelle le rapport — — tend vers Tunilé, en étant constamment inférieur à un. On peut l'écrire

Un I -^ Œ/t '

oifi tendant vers zéro lorsque n augmente indéfiniment. La comparaison de ce rapport avec ( — — j conduit à la règle suivante, obtenue d'abord par Raabe (*), puis par Duhamel {^) :

Si, à partir d'un certain rang, le produit n^^est constamment supérieur à un nombre fixe ^ plus grand que un^ la série est convergente. Si, à partir d'un certain rangy ce produit est constamment plus petit que un, la série est divergente.

La seconde partie de la proposition est immédiate. Si, à partir d'un certain rang, on a /la^^ i, on en déduit

et le rapport -^^ est supérieur au rapport de deux termes consécutifs de la série harmonique : la série est donc divergente.

Pour démontrer la première partie, supposons qu'à partir d'un certain rang on ait constamment n^n ;> A >> i . Soit )x un nombre compris entre i et A, i <; [x<; A; la convergence de la série sera

assurée si, à partir d'un certain rang, le rapport — ^^ est moindre que le rapport l ) de deux termes consécutifs de la série

(') Zeitschrift fur Afalhematik und Physiky t. X; 1.H32. (•) Journal de LiouviUe, t. IV; i838.

dont le terme général est n'V-, Il faut, pour cela, que l'on ait

ce qu'on peut écrire, en développant (iH- ~) parla formule de Tajlor limitée au terme en — >

\n restant toujours moindre qu'un nombre fixe lorsque n augmente indéfiniment. Cette condition devient, en simplifiant,

or le premier membre a pour limite [jl lorsque n croît indéfiniment. A partir d'une valeur de n assez grande, ce premier membre sera donc moindre que na;,, ce qui suffit pour démontrer l'inégalité (8) et par suite la convergence de la série.

Lorsque le produit /la^ tend vers une limite / pour n infini, on peut appliquer la règle précédente. La série est convergente si / > I , et divergente si / <; i . Il y a doute pour / = i , sauf dans le cas où nxn tend vers un en lui restant constamment inférieur; la série est alors divergente.

Lorsque le produit na^ a pour limite Tunité, on compare — ^^ au rapport de deux, termes consécutifs de la série

a(log2)l* ' '*' n(logn)lA *"'

qui est convergente si [jl>i, et divergente si fili. Écrivons le rapport de deux termes consécutifs

^n tendant vers zéro lorsque n augmente indéfiniment. Si, à partir d'un certain rang, le produit p^logn est constamment supérieur à un nombre fixe plus grand que V unité, la série est convergente. Si ce produit est constamment inférieur à V unité, la série est divergente.