CHAPITRE TL

FONCTIONS IMPUGITES. — DÉTERMINANTS FONCTIONNELS. CHANGEMENTS DE VARIABLES.

20. Étude d'un cas particulier. — Il arrive souvent que Ton a à étudier des fonctions dont on ne possède pas Teipression explicite, mais qui sont définies par des équations non résolues. Considérons, par exemple, une relation entre trois variables

cette équation définit, sous certaines conditions que nous allons préciser, une fonction des deux variables indépendantes œ, y. Nous démontrerons pour cela le théorème suivant :

Soient x^^Xq, y^zy^^ z:^Zo un système de solutions de V équation (i), tel que la fonction F et ses dérivées partielles du premier ordre soient continues dans le voisinage de ce système de valeurs. Si la dérivée F^ n^est pas nulle pour x=^Xq^ y=zyQ^ z::=Zo^ H cxlstc unc fonction continue des variables indépendantes x, y, et une seule, satisfaisant à Inéquation (i), e^ prenant la valeur Zq^ lorsque x et y prennent respectivement les valeurs Xq ety^,

La dérivée F^ n^étant pas nulle pour les valeurs Xq^ yo^ ^o^ supposons, pour fixer les idées, qu'elle soit positive. D'autre part, les fonctions F, F^, F^, F^ étant continues dans le voisinage de ce système de valeurs, choisissons un nombre / positif assez petit pour que les quatre fonctions F, F!,., F^, F^ soient continues tant que les valeurs de x, y, z satisfont aux inégalités

(2) \x^Xo\<l, lr-Ko|S/, \z-Zo\i\

et que Ton ail, pour ces systèmes de valeurs de Xy y, r.

Pétant un nombre positif, d'ailleurs quelconque; nous désignerons de même par Q un autre nombre positif, supérieur aux valeurs absolues des deux autres dérivées partielles ¥'^ et F^. dans le même domaine.

Cela posé, donnons ^ x^ y^ z des valeurs satisfaisant aux inégalités (2). On peut écrire

on, en appliquant à chacune des diflTérences la formule des accroissements finis, et observant que F(^o> JKo> ^0) = o>

¥{x,y, z) ^ (x — xq)Y'j,[xo-\^^{x — xo), y, z]

---{z - zo) Fi [xo, 70, zo^O^z -zo)];

la fonction F{x,y, z) est donc de la forme

3V \F(^,r»-)^ X{x,y, z)(x--Xo)

i -^~^H^^y,'^)(y-ro)-^C{x,y,z){z-Zo),

les valeurs absolues des fonctions A{x, y^ z)^ K(x, y^ z)^ C{x,yj z) satisfaisant aux inégalités

lorsque les valeurs attribuées aux variables x, y, z satisfont aux inégalités (2). Soient maintenant e un nombre positif inférieur à /,

et T\ le plus petit des deux nombres / et -y- Supposons que

dans l'équation (i) on attribue aux variables x et^ des valeurs déterminées vérifiant les conditions

el qu'on veuille obtenir le nombre des racines de celte équation, où z est regardée comme l'inconnue, comprises entre Zo — £ et ^5-1- e. Dans l'expression (3) deF(x, y, z)^ la somme des deux premiers termes est toujours moindre en valeur absolue que 2QTri, tandis que la valeur absolue du dernier terme est supérieure à Pe, quand on y remplace z par Zq it: e. D'après la façon dont on a

choisi Yi, c'est donc le dernier terme qui donne son signe; on a, par conséquent, F(^, jr, ^o — s) < o et F{x, y, ^o -r e) > o, et l'on en conclut que l'équation (i) a au moins une racine comprise entre Zq — £ et ^o -H s. Cette racine est d'ailleurs unique, puisque la dérivée F^ reste positive lorsque z varie de Zq — t k Zq-^ t. Nous arrivons donc à cette conclusion que l'équation (i) a une racine et une seule qui tend vers :;o lorsque x et y tendent vers les valeurs ^o et^o respectivement. ^

Voyons pour quels systèmes de valeurs des variables x et^'la racine dont nous venons de démontrer l'existence se trouve bien

définie. Soit h le plus petit des deux nombres / et -r^; le raisonnement qui précède nous prouve que si les valeurs des variables x

Fis. 1.

ry"'/^] '.

Di i ! /c ; '

1 Iq

et ^satisfont aux inégalités \x — Xo\<Chj \y — yo\ <i h^Véqudition (i) aura une racine et une seule comprise entre Zq — / et ^ol- /. Appelons R le carré ayant pour centre le point Mo(^oi J'o) et ses côtés parallèles aux axes de coordonnées, la longueur de chaque côté étant égale à 2 A; tant que le point {x^ y) est à l'intérieur de ce domaine, l'équation (i) détermine une fonction bien définie des deux variables x et y, qui reste comprise entre Zq — / et Zq-v- l- Cette fonction est continue au point Mo d'après ce que nous venons de voir; il en est de même en un autre point quelconque M, du domaine R, car, en vertu des hypothèses qui ont été faites sur la fonction F et ses dérivées, la dérivée F^ (^, , y^ , ^i) sera encore positive au point Mi, puisqu'on aura |xi — ^o|<I ', \y\ — ^o| < A i^i ^ ^ol -< /• On se trouvera donc dans les mêmes conditions au point M« qu'au point Mo, et, par suite, la racine considérée est encore continue pour x = x^^ y -- jKi •

La racine précédenle n'étant définie qu'à rintérieur du domaine R, nous n'avons ainsi qu'un élément de fonction implicite. Pour définir cette fonction en dehors du domaine R, on procède (le proche en proche de la façon suivante. Soit L un chemin continu partant du point (xo,j>'o) et aboutissant à un point (X, Y) situé en dehors du domaine R. Imaginons que les variables x eiy varient simultanément de telle façon que le point de coordonnées {jc,y) décrive le chemin L. Si l'on part du point (xo?^o) avec la valeur Zq pour z^ on a une valeur bien déterminée pour cette racine, tant qu'on n'est pas sorti du domaine R. Soient Mi {xi^y^) un point de ce chemin intérieur à R, et z^ la valeur correspondante de z\ les conditions du théorème général se trouvant encore vérifiées ipoxxv x ^^ x^^ y ^-^y^j z^=^Zx^ il existe un autre domaine R|, ayant pour centre le point M,, à l'intérieur duquel la racine qui se réduit à^i pour x==:X|,^=:j^'i, est définie. Ce nouveau domaine R| aura en général des points extérieurs à R; en prenant de nouveau sur le chemin L un autre point M2, extérieur à R et intérieur à R|, on pourra recommencer la même construction pour obtenir un nouveau domaine R2, à l'intérieur duquel la racine de Téquation (1) sera bien déterminée, et ainsi de suite. On pourra continuer l'opération, tant qu'on n'arrivera pas à un système de valeurs pour x, y y z^ pour lequel F^= o. Je me contenterai ici de ces indications; nous aurons à traiter en détail dans d'autres Chapitres des questions analogues.

21. Dérivées des fonctions implicites. — Revenons au domaine R et à la racine :; = 'f (-^y y) de l'équation (i), qui est une fonction continue des deux variables x ei y dans ce domaine. Cette fonction admet des dérivées partielles du premier ordre. En effet, laissons^ constant et attribuons k x un accroissement Ax qui donne à :; un accroissement A:;; nous avons, d'après un calcul déjà fait,

V{x - Ax, /, 5 -h As) — V{x,y, z)

^ ^¥'x{x-f^ Ix, y, z-\- ^z) — AcF'-Cjt, y, ^ -O'A:;^ ^ o.

On en tire

Ax- ' ~" F'-Tx, j, z -^- 0' Acl *

lorsque ^x tend vers zéro, il en est de même de A^, puisque z est une fonction continue de x. Le second membre tend donc vers une limite, et z admet une dérivée partielle par rapport à x

on démontrerait de même la formule

Remarque, — Si Téquation F = o est de degré m par rapport à 5, elle définit m fonctions des variables x et y. Les dérivées

partielles j-fj- admettent elles-mêmes m valeurs pour chaque

système de valeurs des variables x et y] les formules précédentes donnent sans ambiguïté ces dérivées partielles, pourvu que Ton remplace z dans les seconds membres par la valeur de la fonction dont on cherche la dérivée.

Par exemple, l'équation

définit deux fonctions -\- \/ 1 — x- — y^ et — y/i — x^ — y'^, qui sont continues tant que Ton a x- 4-jK^<C i • Les dérivées partielles de la première sont

et les dérivées partielles de la seconde s'obtiendront en changeant les signes. On obtiendrait les mêmes valeurs en partant des formules

àz X dz y

àx ~ z^ ^y ~ ^ '

et y remplaçant z successivement par ses deux déterminations.

22. Application aux surfaces. — Si l'on regarde Xy y, z comme les coordonnées cartésiennes d'un point dans l'espace, toute équation