FONCTIONS IMPLICITES

représenle une surface S. Soient (xo, ^o? 5©) les coordonnées d^un point A de cette surface; si la fonction F est continue, ainsi que ses dérivées partielles du premier ordre dans le voisinage des valeurs Xq, y», Zo^ sans que ces trois dérivées soient nulles simultanément au point A, la surface S admet un plan tangent en A. Supposons, par exemple, que la dérivée partielle F^ ne soit pas nulle pour x = Xqj y =^0 ^ = ^o- D'après le théorème général, Féquation de la surface peut aussi s'écrire, dans le voisinage du point A, en la supposant résolue par rapport à z^

^(x,^) étant une fonction continue, et l'équation du plan tangent en A est

remplaçons j- et -r^ par leurs valeurs tirées des formules précédentes : Téquâtion du plan tangent devient

Si Ton avait (^) ^^^^j^** (:* ) >^Oj on considérerait y et z

comme les variables indépendantes et x comme une fonction de ces variables; on arriverait encore à la même équation (5) pour le plan tangent, ce qui est évident a priori d'après la symétrie du premier membre. On verrait de même que la tangente en un point (^o^^o) d'une courbe plane représentée par F(a:, j> ) =:r o a pour équation

Si Ton a à la fois

[d?\ n)V\ [ôV\

le point A est un point singulier ; les tangentes aux diverses courbes situées sur la surface et passant par X forment en général un cône et non un plan. Ce cas sera étudié plus loin (Chap. III). Dans la démonstration du théorème général sur les fonctions implicites, nous avons supposé que la dérivée Fl^ n'était pas nulle.

L'intuition géométrique fait bien comprendre pourquoi cette con-

— j ^^oetf— j 7^0,

le plan tangent à la surface S est parallèle à Taxe des^; une parallèle à Taxe des z voisine de la droite x ^= Xo^y=yo rencontre généralement la surface en deux points voisins du point de contact. L'équation (4) admet donc deux racines tendant vers Zq lorsque x ety tendent vers Xq et jKo respectivement.

Par exemple, si l'on coupe la sphère x^ -i- y^ -h z^ — i ^^ o par la droite y = o^ a:=i-i-e, il y a deux valeurs de z tendant vers zéro en même temps que £, réelles si s est négatif et imaginaires si s est positif.

23. Dérivées successives. — Dans les formules qui donnent les dérivées du premier ordre

dx ~~ Kl ây ~ F". *

on peut considérer les seconds membres comme des fonctions composées, z étant une fonction intermédiaire. On pourrait donc calculer les dérivées successives de proche en proche en appliquant la règle de différentiation des fonctions composées. L'existence de ces dérivées successives est d'ailleurs subordonnée à l'existence des dérivées partielles des différents ordres de la fonction F(a:,^, z).

On obtient ces dérivées d'une façon plus simple en appliquant la proposition suivante : Lorsque plusieurs fonctions d*une variable indépendante vérifient une relation F — o, leurs dérivées vérifient la relation obtenue en égalant à zéro la dérivée du premier membre, prise par la règle de différentiation des Jonctions composées. Il est clair, en elfet, que, si la fonction F se réduit identiquement à zéro quand on y a remplacé les variables dont elle dépend par des fonctions de la variable indépendante, il en est de même de sa dérivée. Le théorème subsiste encore si les fonctions liées par la relation F r== o dépendent de plusieurs variables indépendantes.

Cela posé, supposons d'abord que l'on veuille calculer les dérivées successives de la fonction implicite y de la seule variable x définie par la relation