II. — SÉRIES A TERMES IMAGINAIRES. — SÉRIES MULTIPLES

167. Définitions. — Nous indiquerons dans ce paragraphe quelques généralisations de la notion de série. Soit

(19) tto-^ Wi-h Wt-4-. . .-H anH-. . .

une série dont les termes sont des quantités imaginaires

wo = «0 -^ ^0 *î Ui = ai-hbii, . . . , Un= an-h bai, ... ;

cette série est dite corwergente^ si les deux séries formées par les parties réelles et les coefficients de i sont séparément convergentes,

(20) «0+- ai-+-aj-^. . .-H a^-h. . .,

(,ai) 60-f- ^i-h^iH-...^^«-i-. ...

Soient S' et S" les sommes des deux séries (20) et (21) : la somme de la série (19) est S = S'-f- i^S" \ il est évident que cette somme est encore la limite de la somme S,j des n premiers termes de la série (19) lorsque le nombre n augmente indéfiniment. On voil qu'une série à termes imaginaires n'est au fond que l'ensemble de deux séries à termes réels.

Lorsque la série formée par les modules des différents termes de la série (19)

(2a) y/al -h 65" -H \/a\ -h 6î -+-. . .-4- A/î -+■ ^S + • • •

est convergente, il est clair que chacune des séries (20) et(2i)esl absolument convergente, car on a

et

la série (19) est dite elle-même absolument conçergente. On peut modifier l'ordre des termes d'une pareille série, ou grouper ces termes d'une façon arbitraire, sans changer la somme.

A toute règle permettant d'affirmer qu'une série à termes positifs est convergente correspond une règle permettant d'affirmer qu'une série à termes quelconques, réels ou imaginaires,