II. — 8ÊRIK8 A TERMES IMAGINAIRES. — SERIES MULTIPLES

est absolument convergente. Ainsi, lorsque dans une série le

module du rapport -^^ est, à partir d'un certain rang, plus petit

qu'un nombre fixe inférieur à Tunité, la série est absolument convergente. Soit en effet U/ = | W||; si, à partir d'un certain rang, on

a constamment

<Ck<C^\^ on peut écrire celle inégalité -il — ^ a:< ï,

ce qui prouve que la série des modules

Uo -H U| -h . . . 4- U,i -h . . .

est convergente. Si le rapport — ^^ tend vers une limite / lorsque n

croît indéfiniment, la série est convergente lorsque |/j<^i, et divergente lorsque j /| ^ i ; dans ce dernier cas, en effet, le module du terme général iin ne tend pas vers zéro, les deux séries (20) et (21) ne peuvent être à la fois convergentes. Il y a doute si |/| = 1.

D'une façon générale, soit a> la plus grande des limites de v^U/» lorsque n augmente indéfiniment. La série (19) est absolument convergente si a> < 1, et divergente si ci)>i, car dans ce cas le module du terme général ne tend pas vers zéro (n** 161). 11 y a doute si a> = i; la série peut être absolument convergente, simplement convergente, ou divergente.