III. — SKRIES A TERMES VARIABLES

reste conslamment plus petit que s en valeur absolue» lorsque x varie de a à 6. Ainsi, pour la série considérée tout à l'heure, on a

la série n'est pas unilormément convergente dans l'intervalle (o, i), car il est impossible de trouver un nombre entier n tel que l'on

I ait R;,(x) <; 6, pour toutes les valeurs de x comprises entre o et i .

i L'importance des séries uniformément convergentes provient

I de la propriété suivante :

I La somme d'une série uniformément convergente dans un

intervalle (a, b), dont les termes sont des fonctions continues d'une variable x dans cet intervalle, est elle-même une fonction continue de cette variable.

Soit Xq une valeur de x comprise entre a et 6, et^o-f- A une valeur voisine, comprise aussi entre a et b. Choisissons un nombre n assez grand pour que le reste R,i(:r)

soit moindre que = en valeur absolue pour toutes les valeurs de x

de l'intervalle (a, t), e désignant un nombre positif donné à l'avance, aussi petit qu'on le voudra. Soity(;r) la somme de la série convergente considérée; on peut écrire

/(j7) = cp(:r)-HR„(ar),

en désignant par o(^x) la somme des n -r- i premiers termes

cp(a:) — Uo{x)-^ Uiix) -h . . . -t- iin(x).

f{To-h- h) rr Cp(jro-r- h) -h Hn(Xo'{- /< ),

on tire, en les retranchant membre à membre,

/{Xo-^ h)^f(xQ) = [o{xo-^ h) -o(aro)] -i- K/|(J^o-^ ^0 H«(a:*o)i le nombre n ayant été choisi de cette façon, on a déjà

Des égalités

4o8 CHAPITRE VIII. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.

D'autre part, puisque les différents termes de la série sont des fonctions continues de x^ ?(-^) est aussi une fonction continue et Ton peut trouver un nombre positif tj tel que l'on ait

|cp(:ro-+-A) — cp(a7o)|< 3-, pourvu que \h\ soit <^r\. On aura donc, a fortiori^

|/(To-f-A)-/(rro)|<3^

pour toutes les valeurs de h moindres que 7\ en valeur absolue, ce qui montre bien que la fonction f{x) est continue pour x=:Xn.

Remarque^ — Il paraît au premier abord 1res difficile de reconnaître si une série est uniformément convergente dans un intervalle. La proposition suivante permet, dans bien des cas, d'affirmer qu'il en est ainsi. Soit

(36) Uq{x)-\- Ux{x)-^. . .-\~ Un{x) -^ ..,

une série dont les termes sont des fonctions continues de x dans un intervalle (a, b)\ soit, d'autre part,

une autre série convergente dont les termes sont des nombres positifs constants. Si, pour toutes les valeurs de x de l'intervalle (a, b) on a, quel que soit n^ \un\<i ^n^ la première série (36) est uniformément convergente dans cet intervalle. Il est clair, en effet, qu'on a, pour toute valeur de x comprise entre a et 6,

et il suffira de prendre n assez grand pour que le reste correspondant de la seconde série soit moindre que e, pour que l'on ait, quel que soit X oans l'intervalle (a, 6),

Par exemple, Vq^ ^«, To, . . . avant toujours la même signification,

la série

^0-^ ^1 sina7-f- i'i sinaa? -h. . .-h Vn sin/iar-+-. . .

est uniformément convergente dans tout intervalle.